$AB − BA = A$,$A$ es una matriz distinta de cero, entonces$B$ no es nilpotente.

Question

Permitir matrices$A,B$$n\times n$ tales que$$AB-BA=A$$ and $ A$ is a nonzero matrix. Prove that $ B $ no es nilpotente.

Sé por qué$A$ es nilpotente, pero ¿cómo puedo probar que$B$ no es nilpotente?

Answer 1

Aquí es una manera de verlo: definir la transformación lineal $$ \Phi_B(X) = XB - BX $$ claramente, $A$ es un autovector de esta transformación asociada con $\lambda = 1$. Ahora, los vectores propios de a $\Phi_B$ son necesariamente de la forma $\lambda - \mu$ donde $\lambda,\mu$ son los autovalores de a $B$ (puede ser visto a través de vectorización).

A la conclusión de que desde $\Phi_B$ tiene un valor distinto de cero autovalor, $B$ tiene un valor distinto de cero autovalor, lo que significa que no es nilpotent.

Answer 2

Si $B$ es nilpotente entonces hay $k$ tal que $AB^k=0$.

Así $-BAB^{k-1}=AB^k-BAB^{k-1}=(AB-BA)B^{k-1}=AB^{k-1}$.

Por lo tanto, $(Id+B)(AB^{k-1})=0$. Ya que B es nilpotente entonces $Id+B$ es invertible. Así, $AB^{k-1}=0$.

Podemos repetir el argumento para probar que $AB^{k-2}=\ldots=AB^1=AB^0=A=0$. ¡Absurda!