¿Cuál es la importancia del generador infinitesimal de la marcha Browniana?

Question

He leído que el generador infinitesimal de la marcha de Brown es $\frac{1}{2}\small\triangle$. Desafortunadamente, no tengo conocimientos en teoría de semigrupos, y las exposiciones de la teoría de semigrupos que he encontrado carecen de motivación o intuición.

¿Qué es el generador infinitesimal de un proceso de manera intuitiva, y por qué es interesante o útil saber que el generador de la marcha de Brown es $\frac{1}{2}\small\triangle$?

Answer 1

Para un proceso de Markov $(X_t)_{t \geq 0}$ definimos el generador $A$ por

$$Af(x) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{\mathbb{E}^x(f(X_t))-f(x)}{t} = \lim_{t \downarrow 0} \frac{P_tf(x)-f(x)}{t}$$

siempre que el límite exista en $(C_{\infty},\|\cdot\|_{\infty})$. Aquí $P_tf(x) := \mathbb{E}^xf(X_t)$ denota el semigrupo de $(X_t)_{t \geq 0}$.

Por la fórmula de Taylor esto significa que

$$\mathbb{E}^xf(X_t) \approx f(x)+t Af(x)$$

para pequeños $t \geq 0$. Entonces, básicamente, el generador describe el movimiento del proceso en un intervalo de tiempo infinitesimal. Se puede mostrar que

$$\frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1}$$

es decir, el generador es la derivada temporal de la función $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$. Leyendo $(1)$ como una ecuación diferencial (parcial), vemos que $u(t,x) := P_t f(x)$ es una solución de la EDP

$$\frac{\partial}{\partial t} u(t,x) = Au(t,x) \qquad u(0,x)=f(x).$$

Esta es una razón importante por la cual los generadores son de interés. Otra razón, más probabilística, es que el proceso

$$M_t^f := f(X_t) - f(X_0)- \int_0^t Af(X_s) \, ds, \qquad t \geq 0 \tag{2}$$

es un martingala. Esto significa que podemos asociar con $(X_t)_{t \geq 0}$ una gran cantidad de martingalas, y esta propiedad de martingala es muy útil a menudo, por ejemplo cuando lidiamos con expectativas de la forma $\mathbb{E}^x(f(X_t))$. Esto lleva a la fórmula de Dynkin.

Los generadores también están conectados con el problema de martingala que a su vez se puede utilizar para caracterizar soluciones (débiles) de ecuaciones diferenciales estocásticas. Además, los generadores de procesos estocásticos están fuertemente relacionados con las formas de Dirichlet y los operadores de Carré du champ; resulta que son extremadamente útiles para trasladar resultados de la teoría de la probabilidad al análisis (y viceversa). Una aplicación importante son las estimaciones del núcleo de calor.

Ejemplo: Movimiento Browniano En el caso de un movimiento Browniano (unidimensional) $(B_t)_{t \geq 0}$, vemos que

$$\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x)$$

para pequeños $t$. Esta fórmula se puede motivar por la fórmula de Taylor: De hecho,

$$\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx \mathbb{E}^x \left[f(x)+f'(x)(B_t-x)+\frac{1}{2} f''(x)(B_t-x)^2 \right]= f(x)+0+\frac{t}{2} f''(x)$$

usando que $\mathbb{E}^x(B_t-x)=0$ y $\mathbb{E}^x((B_t-x)^2)=t$.

De $(1)$ vemos que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ es la solución (única) de la ecuación de calor

$$\partial_t u(t,x) = \frac{1}{2}\partial_x^2 u(t,x) \qquad u(0,x)=f(x).$$

Además, se puede mostrar que la solución del problema de Dirichlet también está relacionada con el movimiento Browniano. Además, $(2)$ nos da que

$$M_t^f := f(B_t)-f(B_0) - \frac{1}{2} \int_0^t f''(B_s) \, ds.$$

es una martingala. Teniendo en mente la fórmula de Itô, esto no es sorprendente ya que

$$f(B_t)-f(B_0) = \int_0^t f'(B_s) \, dB_s+ \frac{1}{2} \int_0^t f''(B_s) \,ds = M_t^f + \frac{1}{2} \int_0^t f''(B_s) \,ds.$$

Los resultados mencionados (y sus demostraciones) se pueden encontrar en la monografía Movimiento Browniano - Una introducción a los procesos estocásticos de René L. Schilling & Lothar Partzsch.

Answer 2

De hecho, existe una relación más profunda entre el Laplaciano y el movimiento Browniano.

Sea $(M, g=\langle\cdot, \cdot\rangle)$ una variedad riemanniana suave sin frontera. El operador Laplace-Beltrami se define como la contracción de la derivada covariante de la diferencial de cualquier función suave en $M$

$$\forall f \in C^\infty(M): \Delta_M f := \mathrm{tr} \nabla \mathbf df = \mathrm{div}\ \mathrm{grad} \ f \in C^\infty(M)$$

donde la conocida definición se puede recuperar con generalizaciones adecuadas de la divergencia y el gradiente. Esto significa, para cualquier base ortonormal $E_1,...E_n$ para $T_pM$ ($p \in M$),

$$\forall f \in C^\infty(M): \Delta_M f(p) = \sum_{i=1}^n \nabla\mathbf d f(E_i,E_i) = \left\langle \nabla_{E_i}\mathrm{grad} \ f, E^i \right\rangle$$

donde usamos la notación de Einstein. Además, podemos generalizar el término de una semimartingala continua de la siguiente manera: Todo proceso estocástico adaptado a valores en $M$ $X$ es una semimartingala en $M$ si, para todo $f \in C^\infty(M)$, la composición es $f(X)$ una semimartingala de valores reales.

Luego podemos definir el movimiento Browniano en $M$ mediante el problema martingala usual (esto se conoce como la definición extrínseca):

Sea $X$ un proceso adaptado a valores en $M$. Un proceso $X$ se llama movimiento Browniano en $(M,g)$ si, para todo $f \in C^\infty(M)$, el proceso de valores reales

$$f(X) - \frac 12 \int \Delta_M f(X) \mathrm dt$$

es una martingala local.

En particular, podemos demostrar la caracterización de Lévy también para BM$(M,g)$. Pero esto requiere una definición razonable de la variación cuadrática.

El problema con esta definición radica en la propia variedad: No existe una representación tipo Hörmander del operador Laplace-Beltrami si $M$ no es paralelizable, es decir, el haz tangente $TM \overset\pi\longrightarrow M$ no es trivial. Pero se cumple la relación fundamental

$$\Delta_{\mathcal O(M)} \pi^* = \pi^* \Delta_M$$

más precisamente,

$$\Delta_{\mathcal O(M)}(f \circ \pi)(u) = \Delta_M f(x)$$

para todo $u \in \mathcal O(M)$ con $x = \pi(u)$. Además, existen $n$ vectores horizontales únicos bien definidos $L_i(u) \in H_u\mathcal O(M)$, $\pi_* L_i(u) = ue_i$, $(e_i)$ base para $\mathbb R^n$, los llamados campos vectoriales horizontales fundamentales y definimos entonces

$$\Delta_{\mathcal O(M)} := \sum_{i=1}^n L_i^2$$

donde $\mathcal O(M)$ denota el haz de tramas ortonormales, el ejemplo prototipo de un haz de fibras principal suave cuyo grupo de estructura está dado por el grupo ortogonal.

Utilizando esta relación, se debe a Malliavin, Eells y Elworthy que siempre existe un movimiento Browniano elevado como solución de la EDS globalmente definida

$$\mathrm d U = L_i(U) \circ \mathrm d B^i$$

en $\mathcal O(M)$, donde $B$ es un movimiento Browniano real de $n$ dimensiones y utilizamos la notación de Einstein. Una solución es una difusión generada por $\frac 12\Delta_{\mathcal O(M)}$. La idea es resolver la EDS en $\mathcal O(M)$ y $X = \pi(U)$ es la proyección del movimiento Browniano elevado $U$ en la variedad $M$ a través de $\mathcal O(M) \overset\pi\longrightarrow M$. Se sigue que $X$ es un movimiento Browniano en $M$ que comienza en $X_0 = \pi(U_0)$.

En términos geométricos, la idea es "rodar" nuestra variedad $M$ mediante el desplazamiento paralelo (estocástico) a lo largo de los caminos de un movimiento Browniano de valores en $\mathbb R^n$ ("rodar sin deslizamiento"), conocido como desarrollo estocástico.

Referencias:

• Hsu, Elton P. Stochastic analysis on manifolds. Vol. 38. American Mathematical Soc., 2002.
• (en alemán) Hackenbroch, Wolfgang, y Anton Thalmaier. Stochastische Analyse. Vieweg+Teubner Verlag, 1994.
• Elworthy, Kenneth David. Stochastic differential equations on manifolds. Vol. 70. Cambridge University Press, 1982.
• Malliavin, Paul. Géométrie différentielle stochastique. Montreal, Presses de l’université de Montreal, 1978.

Answer 3

El generador es $A f (x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{\mathbf{E}^{x} [f(X_{t})] - f(x)}{t}$. Si $X_{t}$ fuera un proceso estocástico degenerado digamos dado por una EDO entonces el generador simplemente te daría una EDO para $f(X_t)$.

Puedes usar un generador para, por ejemplo, derivar EDP relevantes para el proceso estocástico. Por ejemplo, si quisieras encontrar una EDP para la distribución estacionaria de $X$. Supongamos que esta distribución está dada por $\pi(x)$. Toma la esperanza de ambos lados contra $\pi(x)$, ya que es una distribución estacionaria el lado derecho será $0$. En el lado izquierdo, haz básicamente integración por partes para mover el operador diferencial $A$ de $f$ a $\pi$ y piensa en $f(x)$ como una función de prueba. Entonces obtienes que $A^* \pi(x) = 0$ donde $A^*$ es el adjunto de $A.

Entonces en este ejemplo, el estado estacionario resolverá $\Delta \pi = 0$.