Fórmula general para$\det(A+I)$ donde I es identidad. Lo resolví para$2 \times 2$ y$3 \times 3$.

Question

¿Alguien sabe de una fórmula general para $|A+I|$ donde $A$ $\textbf{symmetric}$ real (plaza) de la matriz?

Para un $2\times2$ sistema me funcionó: $|A+I| = |A|+\text{tr}(A)+1$. Esto es muy amable.

Para un $3\times3$ sistema me funcionó: $|A+I| = |A|+\text{tr}(A) + 1 + \sum_{i=1}^{3} |M_{i,i}|$ donde $M_{i,i}$ es el determinante de la i,i-ésimo menor de edad, es decir, el determinante de la matriz que resulta al eliminar la la i-ésima fila y la i-ésima columna de la matriz original $A$.

Ahora, me pregunto (y asumir) que este problema no es nuevo y preguntaba si alguien sabía de una fórmula general. Porque para un $4\times4$ sistema, esta última fórmula no se sostiene.

Tu ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Para un $n \times n$ matriz $A$, es conocido (y no demasiado difícil de ver) que el coeficiente de $\lambda^k$ en el polinomio $\det(I+\lambda A)$ es la suma de los $k \times k$ director menores de $A$. Llame a esta suma $S_k$; entonces, por ejemplo, $S_1=\operatorname{tr}(A)$$S_n=\det(A)$, y la suma que implican $M_{i,i}$$S_{n-1}$.

Desde $\det(I+\lambda A) = 1 + S_1 \lambda + S_2 \lambda^2 + \dots + S_n \lambda^n$, se encuentra por establecimiento $\lambda=1$ que $\det(I+A)=1+S_1+S_2+\dots+S_n$.

Esto no supone que $A$ es simétrica; no creo que las cosas se ponen mucho más sencillo en este caso en particular.

(Por cierto, se utiliza la palabra menor para una submatriz, pero por lo general significa subdeterminant.)