Análisis real, límite de la función mediante el teorema del binomio.

Question

Tenemos $b \in \mathbb{R}$ y $ 0<b<1$ Necesito demostrar que $\lim(nb^n)=0$

Mi intento:

Desde $0<b<1$ podemos expresar b como $\frac{1}{1+a_n}$ así que ahora nuestra secuencia es $nb^n=n\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n=\frac{n}{(1+a_n)^n}$ podemos utilizar el teorema del binomio para expresar $b^n=\frac{1}{1+na_n+\frac{1}{2}n(n-1)a_n^2+...}\leq\frac{1}{1+na_n+\frac{1}{2}n(n-1)a_n^2}$ Así que tenemos $nb^n \leq \frac{n}{1+na_n+\frac{1}{2}n(n-1)a_n^2}$ .

Después de esto estoy atascado, no sé cómo seguir a partir de ahí. Gracias.

Answer 1

Ya casi ha llegado con su método. Deje que $b = \dfrac1{1+a}$ , donde $a>0$ como tú has hecho. Entonces tenemos $$b^n = \dfrac1{(1+a)^n} = \dfrac1{\displaystyle \sum_{k=0}^n \dbinom{n}k a^k} < \dfrac1{\displaystyle \sum_{k=2}^2 \dbinom{n}k a^k} = \dfrac2{n(n-1)a^2}$$ Por lo tanto, tenemos $$nb^n < \dfrac2{(n-1)a^2}$$ Ahora dejemos que $n \to \infty$ y concluya lo que quiera.

Answer 2

Posible método 1: Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty} n b^n < \infty$ utilizando la prueba de la proporción, esto implicará que $nb^n \to 0$ .

Posible método 2: Observe que $\log(nb^n) = \log(n)-\lambda n$ donde $\lambda = |\log(b)|>0$ . Si sabes que $n >> \log(n)$ entonces tienes que $\log(nb^n) \to -\infty$ como $n \to \infty$ lo que implica (por continuidad de $e^x$ ) que $nb^n = e^{\log(nb^n)} \to 0$ .

Answer 3

Desde $0<b<1, \ b^x$ es uniformemente continua, se puede intercambiar la función límite y la diferenciación. Por lo tanto, $$ \lim_{x\ to \infty} x b^x = \frac{1}{b}\lim_{x \to \infty} x b^{x-1}=\frac{1}{b} \lim_{x \to \infty}\frac{\partial b^x}{\partial b}=\frac{1}{b}\frac{\partial}{\partial b}\lim_{x \to \infty}b^x=0 $$

Lo siento, no hay teorema de Binomio aquí