$\sigma$-compacto clopen subgrupo.

Question

Me da $G$ localmente compacto grupo, y quiero mostrar que existe una clopen subgrupo $H$ $G$ $\sigma$- compacto.

Así que aquí está lo que hice hasta ahora:

para $e \in U$ donde $U$ es un nbhd de la identidad elemento sabemos que $x \in x\bar{U}$, e $x\bar{U}$ es compacto en $G$, ahora toma un poco de finito abra la cubierta de este conjunto,$\cup_{i=1}^{n} V_i$, de nuevo este conjunto es abierto nbhd de $x$ así que de nuevo su cierre es compacto, y su cierre es igual a la unión de $\bar{V_i}$, ahora estoy un poco atascado, Me gustaría poder tomar este conjunto como el clopen subgrupo, pero no creo que yo sé que es cerrado bajo la multiplicación, la derecha?

Answer 1

Sugerencia: Tomar un compacto simétrica vecindario $K$ de la identidad y considerar la $\sigma$-subgrupo compacto $H = \bigcup_{n =1}^{\infty} K^n$.

1. Demostrar que $H$ es un subgrupo abierto.

2. Demostrar que un abrir sugroup de un grupo topológico es cerrado su complemento es una unión de (abierto) cosets.

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Como ejercicios adicionales sugiero:

1. Demostrar que el componente conectado de la identidad es un clopen subgrupo. (Los componentes conectados están abiertas y abrir los subgrupos están cerrados)

2. Demostrar que un conectada localmente compacto grupo de $G$ $\sigma$- compacto.