Añadir 4 a cada dígito y multiplicar

Question

Esta pregunta apareció en mi hermano menor del décimo año del concurso de matemáticas, y él no podía resolver es:

El número de $120$ tiene la propiedad de que, después de cada uno de sus dígitos es mayor por $4$, el producto de la resultante de los dígitos es igual al número original (es decir, $(1+4)(2+4)(0+4)=5\cdot6\cdot4=120$). Encontrar el único otro número de tres dígitos con esta propiedad.

La respuesta es

$(3+4)(1+4)(5+4)=7\cdot5\cdot9=\boxed{315}$

Claramente tenemos que revisar un montón de números; podemos reducirlo al considerar sólo compuesto de números (es de suponer que aquellos con un montón de factores), y por delimitador (no todos tres dígitos puede ser alto, por ejemplo, $999\ll13\cdot13\cdot13$). Pero incluso entonces, yo no podía entender cómo limitar el número de posibilidades suficiente para que yo pudiera terminar la comprobación manual de los mismos en un plazo razonable de tiempo (esto fue en un tiempo de concurso).

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

SUGERENCIA:

$a, b, c$ Sea los tres dígitos del número

Creo que uno de la forma primaria es primer fix $a$ y luego determinar la gama de producto $(b+4)(c+4)$.

Por ejemplo, cuando $a=3, a+4=7\Rightarrow 40

Ahora, compruebe que combinación se adapta para $(b+4)$ y $(c+4)$, $(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8)$

Answer 2

Respuesta parcial:

Se desea encontrar el número de $n$ con expansión decimal $abc$ que $$10^2a+10b+c=(a+4)(b+4)(c+4)$$ A continuación, el siguiente debe ser cierto: $$c=abc \mod 2$$ $$2b+c=abc \mod 4$$ Si $c$ es impar, $a,b$ también debe ser impar. Entonces: $$c+2=abc \mod 4$$ y $$3=ab \mod 4$$ Entonces uno debe ser $1$ y el otro $3$ en el módulo de $4$. Es,

$(13c)$ o $(31c)$

$(17c)$ o $(71c)$

$(53c)$ o $(35c)$

$(57c)$ o $(75c)$

$(93c)$ o $(39c)$

$(97c)$ o $(79c)$

A continuación, sólo tenemos que probar que para cada $c$ número impar, es decir, 30 casos en total, aunque podríamos descartar algunos números por adelantado (759,757,977,..).