$p = 1 \pmod{3}$ y $q=4p+1$ demostrar que $3$ es una raíz primitiva módulo $q$

Question

$p,q$ son primos se nos da $p = 1 \pmod{3}$ y $q=4p+1$ y se les pide que encuentren $\text{order}_q(3)$ es decir, demostrar que es una raíz primitiva de $\mod q$

lo que tengo hasta ahora: usar la reciprocidad cuadrática: $3^{(q-1)/2}=-1\pmod{q}$ y estoy atascado :/

Answer 1

Tienes razón. El manual de campo está equivocado. El agua tiene una masa molecular menor, lo que reduce la densidad del aire.

Pero, ¿es la diferencia lo suficientemente significativa como para notarla?

La velocidad terminal es la velocidad a la que un cuerpo que cae alcanza una velocidad estable cuando la gravedad y la resistencia del aire se encuentran en un equilibrio estable. Supongamos que la bala viaja cerca de la velocidad terminal para poder utilizar su modelo.

La densidad del aire forma parte de la ecuación de la velocidad terminal. La densidad del aire es proporcional a la raíz cuadrada inversa de la velocidad terminal. Esto significa que la velocidad terminal disminuye, pero sólo en función de la raíz cuadrada de la densidad del aire.

wiki - densidad del aire - humedad

La densidad del aire se muestra en el gráfico anterior (crédito a jaffer@MIT). Se puede ver que en un clima cálido de 30 grados C, la densidad del aire tiene alrededor de un 3% de 0 a 100% de humedad. Pero recuerde que tenemos que tomar la raíz cuadrada de esa diferencia - alrededor del 1,5%. Así que lo máximo que la humedad puede afectar a la velocidad de la bala es el 1,5%.

No sé las matemáticas de cómo afecta eso a la trayectoria balística. Lo siento.

Podría ser insignificante, por lo que se equivocaron. Probablemente se basa en lo que la gente piensa intuitivamente, y está respaldado por el sesgo de confirmación. Si tuviera un impacto significativo, uno cree que lo sabrían a ciencia cierta. Este conocimiento científico no es precisamente nuevo.

El manual de campo está equivocado.

Answer 2

Estás muy cerca. No has utilizado el hecho de que $p$ es primordial todavía.

Una pista: Cuáles son los posibles órdenes de cualquier elemento módulo $q$ ?

Una pista: Ya que mostró que $3^{(q-1)/2} = -1 \pmod{q}$ ¿Qué implica que el orden de 3 no puede ser?

Answer 3

Por el Teorema de Fermat, tenemos $3^{4p}\equiv 1\pmod{q}$ .

Así que el orden de $3$ divide $4p$ .

Pero como $4p$ tiene muy pocos divisores, lo único que tenemos que hacer es descartar los órdenes $1$ , $2$ , $4$ , $p$ y $2p$ .

Su cálculo será muy útil para ello.