Supongamos que tengo una matriz simétrica A de $R^{3\times3}$. Necesito saber el vector x en $R^3$ que es rotado por 90 grados cuando multiplicado por A. es decir, si y = Ax, entonces x debe ser tal que el $x^Ty$ = 0; ¿Alguien por favor me puede ayudar? Gracias de antemano.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
guestDiego
Puntos
542
La ecuación a resolver en $x$ es $$ x^Impuestos=0,\qquad\in \mathbb R^{n\times n}_{símbolo} $$ Desde $A$ es simétrica es diagonalizable: $A=Q^T\Lambda Q $, $Q$ una matriz de rotación y $$ \Lambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) $$ Por lo tanto, poner a $y=y(x):=Qx$ $$ x^Impuestos=x^TQ^T\Lambda Qx=(Qx)^T\Lambda (Qx)=y^T\Lambda y=\lambda_1 y_1^2+\ldots+ \lambda_n y_n^2 $$ Si $A$ es positivo semidefinite, entonces $ \sum_i\lambda_iy^2_i=0\Leftrightarrow\lambda_iy_i^2=0\,\forall i\Leftrightarrow\lambda_iy_i=0\,\forall i$. En ese caso, a partir de la última igualdad se deduce que $y^T\Lambda y=0\Leftrightarrow\Lambda y=0$ .
Por lo tanto $$ x^T Ax=0\Leftrightarrow\Lambda y=0 \Leftrightarrow \Lambda Qx=0\Leftrightarrow 0=Q^T(\Lambda Qx)=Ax $$ Tenga en cuenta que he utilizado el hecho de que, desde el $Q$ es una matriz de rotación, $Q^Tz=0\Leftrightarrow z=0$.
De modo que los vectores $x$ que resolver su problema son exactamente los elementos del núcleo de $A$: $$ \forall\textrm{ positiva semi-definitiva: }Ax \asesino x \Leftrightarrow x\in \mathrm{Ker}(A). $$ En el caso general, usted tiene que confiar en la ecuación $$ \lambda_1 y_1^2+\ldots+ \lambda_n y_n^2=0, $$ es decir, usted tiene que encontrar todos los vectores $v=[ y_1^2,\ldots,y_n^2] $ con componentes positivos ortogonal al vector $ [ \lambda_1,\ldots,\lambda_n]$
CodingBytes
Puntos
102
Antes de hacer cualquier cálculo para un caso concreto debemos obtener una visión general sobre el problema. Bien conocidos teoremas decir que un simétrica real de la matriz de $A$ real de los autovalores $\lambda_i$ , y que hay una base ortonormales de ${\mathbb R}^3$ diagonalizing $A$. Con respecto a esta base $$A(x_1,x_2,x_3)=(\lambda_1 x_1,\lambda_2 x_2,\lambda_3 x_3)\ ,$$ de modo que $Ax\perp x$ equivale a $$Ax\cdot x=\lambda_1 x_1^2+\lambda _2 x_2^2+\lambda_3 x_3^2=0\ .\tag{1}$$ Dejo la discusión de los casos en donde algunas de $\lambda_i=0$. Si todos los $\lambda_i$$>0$, o todos ellos se $<0$, entonces no hay soluciones no triviales de $(1)$. El único caso interesante es cuando $\lambda_1\geq\lambda_2>0$$\lambda_3<0$. En este caso los vectores $x$ somos, después de tener para satisfacer $$x_3^2={\lambda_1\over|\lambda_3|} x_1^2+{\lambda_2\over|\lambda_3|} x_2^2\ .$$ Estos vectores $x$ formulario $2$-dimensiones de la superficie cónica con secciones elípticas $x_3=c$. De ello se deduce que en este caso no hay una sola dirección con el especial de los bienes mencionados en la pregunta, pero hay una infinidad de direcciones.
