Demostrar que $1+a+a^2+\cdots+a^n=(1-a^{n+1})/(1-a)$ .

Question

Tengo un problema. Demuestra esto usando la Inducción Matemática. Soy un novato en matemáticas. Por favor, ayúdame.

$$1+a+a^2+\cdots+a^n = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$$

Esta es mi manera de obtener la prueba

Inducción básica: $$ p(1)= a^1 = 1-a^1+1+1/1-a$$ $$ = 1-a^3/1-a$$

Realmente no entiendo este caso.

Answer 1

Este resumen comienza en $n=0$ . Si $n=0$ entonces vemos que $a^0=1={1-a\over 1-a}={1-a^{0+1}\over 1-a}$ . Si $n=1$ entonces $1+a=(1+a){1-a\over 1-a}={1-a^2\over 1-a}$ . Supongamos que $$1+a+a^2+\cdots+a^k={1-a^{k+1}\over 1-a}$$ es verdadera para algún número entero positivo arbitrario $k$ . Debemos demostrar que $$1+a+a^2+\cdots+a^k+a^{k+1}={1-a^{k+2}\over 1-a}.$$ Utilizando nuestra hipótesis de inducción considere $$(1+a+a^2+\cdots+a^k)+a^{k+1}={1-a^{k+1}\over 1-a}+a^{k+1}.$$ Reescriba el lado derecho para obtener $${1-a^{k+1}\over 1-a}+a^{k+1}={1-a^{k+1}+(1-a)a^{k+1}\over 1-a}$$ que se convierte en $${1-a^{k+1}+a^{k+1}-a^{k+2}\over 1-a}={1-a^{k+2}\over 1-a}.$$ Así, por el Principio de Inducción Matemática $$1+a+a^2+\cdots+a^n={1-a^{n+1}\over 1-a}$$ para todos $n\geq0$ .

Answer 2

Para los que no les gusta la inducción:

Dejemos que $S_n = \sum_{i=0}^{n}a^i$ entonces $aS_n = \sum_{i=1}^{n+1}a^i$ .

Así que $(1-a)S_n = 1 - a^{n+1}$ la conclusión es la siguiente.

Answer 3

La inducción básica debería ser para n=0, entonces $1 = \frac{1-a}{1-a} = 1$ . Ahora supongamos que es cierto para $n=k$ y probarlo para $n=k+1$ .

Así que, $p(k+1) = 1+a+a^2+...+a^k +a^{k+1} = \frac{1-a^{k+1}}{1-a} + a^{k+1} = \frac{1-a^{k+1}+a^{k+1} - a^{k+2}}{1-a} = \frac{1-a^{k+2}}{1-a}$ que es exactamente lo que queremos

Answer 4

Su error es $$p(1)=a^1$$ La afirmación correcta debería ser $$p(1)=1+a^1=1+a$$ $$=\frac{1-a^2}{1-a}$$