Esférico integral

Question

Deje que$y \in \mathbb{R}^n$ sea reparado. ¿Hay una expresión agradable para la siguiente integral tomada sobre la esfera de la unidad en$\mathbb{R}^n$? $$ \ int _ {\ | x \ | = 1} e ^ {2 \ pi i (x \ cdot y)} ~ dx $$

Answer 1

En primer lugar, considerar el $n=3$ caso de tener un punto de referencia. Desde que integrar sobre todas las direcciones de la esfera, podemos tomar la $\vec{y}$ a definir el eje vertical es decir $\vec{x}\cdot\vec{y}=y \cos\theta$ donde $\theta$ es el ángulo azimutal. Entonces la integral en coordenadas esféricas (normalizado por el área de la superficie es

\begin{align}\frac{1}{4\pi}\int_{\Vert x\Vert=1}\exp({2\pi i\, \vec{x}\cdot \vec{y}})\,d^2x &=\frac{1}{4\pi}\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\exp({2\pi i\, y \, \cos\theta})\sin\theta\,d\phi\,d\theta\\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{\exp({2\pi i y \cos\theta})}{2\pi i y}\right]_0^\pi\\ &=\frac{1}{4\pi iy}\left(e^{2\pi i y}-e^{-2\pi i y}\right)=\frac{\sin(2\pi y)}{2\pi y} \end{align}

Tenga en cuenta que esto va a $1$ $y\to 0$ como debería. (Un lector versado en funciones especiales reconocerá esto como el cero esférica función de Bessel $j_0(2\pi y)$.)

Ahora queremos generalizar arbitraria $n\geq 2$ es decir, la integral $$I_n(y):=\frac{1}{S_{n-1}}\int_{\Vert x\Vert=1}\exp{(2\pi i\,\vec{x}\cdot\vec{y})}\,d^{n-1}x.$$ Note that $I_n$ can only be a function of $s$ alone; also, this integral is normalized as $I_n(y=0)=1$. We can show that $I_n(y)$ satisface la ecuación diferencial tomando el Laplaciano de ambos lados:

\begin{align} \nabla^2 I_n(y) &=\frac{1}{y^{n-1}}\frac{d}{dy}\left( y^{n-1}\frac{d I_n}{dy}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}\left[\frac{1}{S_{n-1}}\int_{\Vert x\Vert=1}\exp{(2\pi i\,\vec{x}\cdot\vec{y})}\,d^{n-1}x\right]\\ &=\frac{(2\pi i)^2}{S_{n-1}}\int_{\Vert x\Vert=1}\left(\sum_{k=1}^{n-1}x_k^2\right)\exp{(2\pi i\,\vec{x}\cdot\vec{y})}\,d^{n-1}x\\ &=\frac{(2\pi i)^2}{S_{n-1}}\int_{\Vert x\Vert=1}\exp{(2\pi i\,\vec{x}\cdot\vec{y})}\,d^{n-1}x &\left(\left(\sum_{k=1}^{n-1}x_k^2\right)=\Vert x \Vert^2=1\right)\\ &=-(2\pi)^2 I_n(y) \end{align}

Para simplificar la LHS, nos han recordado la forma de la Laplaciano en hyperspherical coordenadas para el caso de esféricamente simétrica potenciales. Así que todo lo que queda es resolver el lineal de segundo orden ODE anterior, que puede ser simplificado a $$I_n''(y)+\left(\frac{n-1}{y}\right)I_n'(y)+(2\pi)^2 I_n(y)=0$$ Esta se puede colocar en la forma estándar de la ecuación de Bessel por una adecuada transformación. En lugar de llevar esto a cabo a mano, sólo voy a citar WolframAlpha:

$$I_n(y)=c_1 y^{1-n/2} J_{\frac{n}{2}-1}(2\pi y)+c_2 y^{1-n/2} Y_{\frac{n}{2}-1}(2\pi y)$$ where $J_n$ and $Y_n$ are $n$-th Bessel functions of the first and second kind respectively. We can ignore the second solution since it diverges at $y=0$; by comparison, the first solution may be checked to behave as $\pi^{n/2-1}/\Gamma(n/2) $ as $s\a 0$. Since $I_n(0)=1$ we conclude that $$I_n(y)=\frac{\Gamma(n/2)}{(\pi y)^{n/2-1}}J_{\frac{n}{2}-1}(2\pi y).$$ As a check, note that for $n=3$ we recover the same answer of $\dfrac{\pecado 2\pi y}{2\pi y}$ as obtained earlier. (The case of odd $$ n da funciones de Bessel de la mitad del entero orden es decir, funciones de Bessel esféricas que siempre puede ser expresado a través de la trigonometría. funciones.)

Puesto que el $(n-1)$-dimensiones de la superficie de la zona es $S_{n-1}=\pi^{n/2}/\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)$, llegamos a la conclusión de que

$$\int_{\Vert x\Vert=1}\exp{(2\pi i\,\vec{x}\cdot\vec{y})}\,d^{n-1}x = \frac{n \pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \frac{\Gamma(\frac n2)}{(\pi y)^{n/2-1}}J_{\frac{n}{2}-1}(2\pi y)=2\pi\,y^{1-n/2} J_{\frac{n}{2}-1}(2\pi y).$$