Deje $C\subset \mathbb R^n$ ser convexa y simétrica respecto al origen. Estoy tratando de demostrar que $\gamma(C) \geq \gamma(C+x)$ cualquier $x\in \mathbb R^n$ donde $\gamma$ es el estándar de Gauss medida. He intentado utilizar el siguiente, que puede ser deducido a partir de la Prekopa Leindler la desigualdad:
$$\gamma(tA + (1-t)B) \geq t\gamma(A) + (1-t)\gamma(B)$$
para conjuntos convexos $A$$B$. Sin embargo, para cualquiera de las diversas opciones de $A$ $B$ me puede pensar, este no produce el deseado de la desigualdad de la $C$. Alguna sugerencia de cómo preceder?
EDIT: La desigualdad he dicho anteriormente es malo; el lado derecho debe tener la media geométrica. Aquí es una prueba de la forma correcta de la desigualdad, utilizando Prekopa Leindler. Vamos $f(x) = \chi_{tA + (1-t)B} (x) e^{-|x|^2/2}$, $g(x) = \chi_{A} (x) e^{-|x|^2/2}$, $h(x) = \chi_{B} (x) e^{-|x|^2/2}$, donde $\chi$ denota una función de indicador. Pretendemos que $f,g,h$ satisfacer la hipótesis de la Prekopa Leindler la desigualdad, es decir,$f(tx + (1-t)y) \geq g(x)^t h(y)^{1-t}$. Esto es obvio si $x\notin A$ $y\notin B$. Si $x\in A$$y\in B$, entonces nuestro reclamo reduce a mostrar
$$ e^{-|tx + (1-t)y|^2/2} \geq e^{-t|x|^2 - (1-t)|y|^2}$$
que es inmediata a partir de la convexidad de $x\mapsto |x|^2$. Por lo tanto Prekopa Leindler da
$$\int f(x)\, dx \geq \left(\int g(x)\, dx\right)^t \left(\int h(x)\,dx\right)^{1-t}$$
que es equivalente a
$$\gamma(tA + (1-t)B ) \geq \gamma(A)^t \gamma(B)^{1-t} .$$
