Voy a suponer que $U$ está acotada. Deje $H=H(U)=H_0^1(U)\cap H^2(U)$. Como se puede ver en el post que has citado, $H$ es un Hibert espacio con el producto escalar $(u,v)=\int_U \Delta u\Delta v$. También tenemos $$\int |\Delta u|^2\geq\lambda_1^2\int|u|^2,\ \forall\ u\in H\tag{1}$$
Ahora consideremos, por ejemplo, la forma bilineal $a:H\times H\to\mathbb{R}$ $$a(u,v)=\int_U\Delta u\Delta v+\int_Uuv$$
Puede comprobar (mediante el uso de (1)) que $a$ es continua, coercitivas y simétrica. Usted también puede verificar que $f$ define claramente delimitado lineal funcional en $H$ por la expresión $$v\mapsto\int_U fv,\ \forall\ v\in H$$
Esto implica por parte de Lax-Milgram Teorema que por cada $f\in L^2$, $u\in H$ tal que $$a(u,v)=\int_U fv,\ \forall v\in H\tag{2}$$
es decir, $u$ es una solución débil de su problema.
Observación 1: Lax-Milgram también te da ese $u$ es el minimizer funcional de la $$I(u)=\int_U |\Delta u|^2+\int_U u^2-\int_U fu,\ \forall\ u\in H$$
Observación 2: $u\in H_0^1(U)\cap H^4(U)$
Comentario 3: usted Puede ver por qué la $\Delta u=0$ en el límite de $U$?
Edit: Para demostrar la Observación 3, primero elija $w\in H$ tal que $\Delta w=f$$U$. Esto se puede hacer porque el problema $$
\left\{\begin{array}{ccc}
\Delta w=f &\mbox{ in %#%#%} \\
w=0 &\mbox{ in %#%#%}
\end{array} \right.
$$
tiene una única solución a $U$$\partial U$. Por otra parte, debido a $w$ define una limitada función lineal en $H^2$, tenemos por el Teorema de Riesz que no existe $v\mapsto \int_U uv$ tal que $H_0^1(U)$$
Llegamos a la conclusión de $\phi\in H_0^1(U)$ $$\int_U uv = \int_U \nabla \phi\nabla v,\ \forall\ v\in H_0^1\tag{3}$ que $(2)$$
Aplicamos Verde Theoren en $(3)$ a la conclusión de que
$$\int_U \Delta u\Delta v+\int_U\nabla \phi\nabla v=\int_U \Delta w v,\ \forall\ v\in H\tag{4}$$
"De nuevo", para cada $(4)$, $$\int_U \Delta u\Delta v-\int_U\phi\Delta v=\int_U w \Delta v,\ \forall\ v\in H\tag{5}$ tal que $\psi\in L^2(U)$, por lo tanto, de $v\in H$ tenemos
$\Delta v=\psi$$
Aplicamos du Bois-Reymond a la conclusión de que la $(5)$$
Debido a $$\int_U (\Delta u-\phi-w)\psi=0,\ \forall\ \psi\in L^2(U)\tag{6}$, llegamos a la conclusión de que $$\Delta u(x)-\phi(x)-w(x)=0,\ a.e.\ x\in U$$\phi,w\in H_0^1(U)$.
