¿Por qué están relacionados el radio clásico del electrón, el radio de Bohr y la longitud de onda de Compton de un electrón?

Question

Utilizando la definición de la constante de estructura fina $\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c}$ y el Longitud de onda Compton de un electrón $\lambda_c = \frac{h}{m_e c}$ el radio del electrón clásico $r_e$ y el Radio de Bohr $a_0$ puede expresarse como $$r_e = \alpha \frac{\lambda_c}{2\pi}$$ $$a_0 = \frac{1}{\alpha} \frac{\lambda_c}{2\pi} $$

Esto significa, por ejemplo, que el radio del electrón clásico puede expresarse en términos del radio de Bohr como $r_e = \alpha^2 a_0$ .

¿No es peculiar? ¿Por qué el radio clásico del electrón y la distancia de un electrón al núcleo en un átomo deben estar relacionados entre sí? ¿Y por qué ambos son múltiplos de la longitud de onda de Compton?

Answer 1

No es de extrañar que ambos $r_e$ y $a_0$ son múltiplos de la longitud de onda de Compton: dos longitudes positivas cualesquiera son múltiplos la una de la otra. Si bien es cierto que hay algo más que esa simple afirmación, el hecho esencial es que, puesto que esas tres longitudes están compuestas de forma sencilla y con los mismos ingredientes básicos, hay muy poco margen para que puedan ser diferentes.

Veamos estas cantidades: $$ \lambda_C=\frac{2\pi\hbar}{mc},\,\, r_e=\frac{e^2}{mc^2}\text{ and }a_0=\frac{\hbar^2}{m e^2}, $$ en unidades gaussianas, donde $m$ es la masa del electrón. $%These are, respectively, the characteristic length scales of the photon momentum that matches an electron, the electron's rest mass as electrostatic energy, and the basic quantum mechanical electrostatic problem for the electron.$

Obsérvese que todas son inversamente proporcionales a la masa en reposo del electrón, aunque por diferentes razones: los electrones más pesados requerirían fotones más fuertes para desviarlos; tienen una masa en reposo más alta y necesitarían una carga esférica más compacta para igualarla; y un $m$ reduce efectivamente $\hbar$ en la ecuación de Schrödinger hidrogénica, lo que hace más difícil llegar al régimen cuántico.

Dado esto, tienes tres longitudes que están determinadas por las tres constantes $\hbar$ , $c$ y $e$ . Son suficientes constantes para hacer tres longitudes diferentes, pero son lo suficientemente pocas como para que cualquier cociente deba ser una función de la única combinación adimensional de estas constantes: la constante de estructura fina, $$\alpha=\frac {e^2} {\hbar c}.$$ Por lo tanto, es necesario que dos de estas tres longitudes deben ser múltiplos de la tercera y de $\alpha^{\pm1}$ (modulo $2\pi$ ).

Esta constante, sin embargo, es especialmente importante. Es la medida natural de la fuerza de las interacciones electromagnéticas: da, como número puro, el acoplamiento electromagnético $e^2$ entre dos cargas unitarias, en unidades relativistas naturales donde $\hbar=c=1$ . Por lo tanto, aunque las relaciones que comentas son necesarias desde el punto de vista algebraico, no significa que estén desprovistas de contenido físico:

• $r_e=\alpha \lambda_C/2\pi$ dice que para una QED de interacción más fuerte bastaría con un electrón esférico más suelto para igualar la energía de la masa en reposo.
• $a_0=\frac 1\alpha \lambda_C/2\pi$ dice que para una QED de interacción más fuerte el protón mantendría su electrón hidrógeno en órbitas más estrechas.

De hecho, ambas se expresan de forma más natural en términos de la longitud de onda Compton, ya que es la escala de longitud cuántica-relativista característica del electrón, y no depende de ninguna interacción física concreta, mientras que las otras dos sí lo hacen, y por tanto se obtienen de la primera a través de la fuerza de esa interacción.

Answer 2

Las tres longitudes que está considerando se construyen utilizando sólo el $e$ , $m_e$ y las constantes fundamentales. Si se observan las definiciones, se puede notar que todas tienen la forma $\frac{something}{m_e}$ .

Está claro entonces que se puede obtener una longitud a partir de las otras simplemente multiplicando por algún factor de $e$ y las constantes fundamentales; como todas las cantidades son longitudes, el factor debe ser adimensional: debe ser una potencia de $\alpha$ por algún número.

El $2\pi$ factores provienen del hecho de que $\lambda_C$ implica $h$ y los demás $\hbar$ .

Answer 3

En cuanto a la longitud de onda de Compton $\lambda_c$ y el radio del electrón clásico $r_e$ , se puede sintetizar de esta manera: $$h\nu=m_ec^2=\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\, a_0}$$ La primera igualdad representa la interacción entre un fotón y un electrón que transfieren su energía de uno a otro (dispersión compton). Esto da la longitud de onda compton, rango típico de la interacción electrón-fotón.

La segunda igualdad representa la energía del electrón que coincide con la energía potencial que experimentaría en el potencial eléctrico clásico de una carga puntual (otro electrón, por ejemplo). Esto da el radio clásico del electrón, que yo interpretaría como el rango típico de la interacción electrón-electrón.

Así, la relación entre $\lambda_c$ y $r_e$ es $\alpha$ porque es una medida de la fuerza de la interacción electrostática.

Ahora, no estoy seguro de la parte del radio de Bohr. Esto no es tan directo porque implica la cuantificación del momento angular.

Answer 4

La constante de estructura fina no recibió su nombre al azar. Representa el tamaño del bloque de construcción de la naturaleza para la "estructura de la materia". Al igual que utilizamos el gramo en algunos trabajos pequeños y el kilogramo en otros, mientras que se necesita una tonelada para un tercero y así sucesivamente, lo mismo ocurre en el mundo subatómico. El radio de Bohr representa al átomo y es 137 veces (aproximadamente) el tamaño del radio de Compton, que viene a considerar las propiedades magnéticas del electrón junto con la velocidad de rotación en el átomo, y éste a su vez es 137 veces el radio clásico que tiene que ver con la carga y la energía del electrón. Para la mente QM, el radio de Bohr es cuando los efectos cuánticos se ponen en marcha, el radio de Compton es cuando el comportamiento ondulatorio del electrón se hace evidente, mientras que el radio clásico es cuando se necesita la renormalización, es decir, cuando se llega a un borde y al punto donde las integrales de energía comienzan a divergir. Para obtener el radio clásico del electrón re= e^2/40 mc^2, donde e,m son la carga y la masa del electrón, toma un electrón en reposo en el laboratorio y otro en el infinito con velocidad máxima c (o muy cerca de ella). El electrón pierde todo su movimiento/energía cinética por repulsión al llegar al electrón en reposo, por lo que este radio representa la distancia más pequeña a la que dos electrones pueden acercarse, ya que c es un límite de velocidad. Para el radio de Compton (longitud de onda compton/2) rc=h/2mc, considere dos fotones y un electrón en producción de pares o, alternativamente, considere el momento magnético derivado de una carga que gira para crear el dipolo magnético del electrón. Para el radio de Bohr rb = h^2 0 / m e^2; considere que la fuerza centrífuga es igual a la fuerza eléctrica atractiva estática en el átomo. El cociente de dos números cualesquiera de los anteriores es la constante de estructura fina =e^2/0 hc; y lo notable es que este número es adimensional, y los tres radios del electrón se obtienen en procesos independientes, y que este cociente es exacto! es decir, independiente de los valores experimentales.