Teorema del límite central

Question

Estoy tratando de probar los hechos siguientes:

Deje $X$ ser yo.yo.d. real de variables aleatorias tales que $E[X_i] = 0$, $\mathrm{Var}[X_i] = \sigma^2$. Por otra parte se sabe que $S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$ se distribuye de la $x_n X_1 + y_n$ por cada $n \geq 1$ y algunos de los verdaderos $x_n, y_n$. Me gustaría probar ese $X_1$ se distribuye como una distribución normal $N(0, \sigma^2)$.

Mi enfoque: Por el Teorema Central del Límite, $\frac{S_n}{\sigma \sqrt{n}} = \frac{x_n X_1 + y_n}{\sigma \sqrt{n}}$ (1) converge débilmente a$N(0,\sigma^2)$$n \to \infty$. Por lo tanto, $E\left[ \frac{x_n X_1 + y_n}{\sigma \sqrt{n}} \right] = y_n$ converge débilmente a $E[N(0, \sigma^2)]$. Por lo tanto $y_n \to 0$. Asimismo, la aplicación de este argumento para varianzas (es decir, las desviaciones de débilmente convergente secuencia converge a la varianza del límite), llego a la conclusión de que $\frac{x_n}{\sigma \sqrt{n}} \to 1$$n \to \infty$. Entonces a partir de (1) se seguiría que $X_1$ se distribuye de la $N(0, \sigma^2)$.

Tengo la sensación de que me falta/pasa por alto algunos problemas aquí. Estaría agradecido por sus comentarios o ideas si este enfoque es correcto o no.

Gracias.

Answer 1

Es posible que desee agregar como último paso que cada variable aleatoria$U_n=\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}}$ se distribuya como (pero no igual a, su publicación va demasiado rápido en esto) la variable aleatoria$V_n=\frac{x_n}{\sigma\sqrt{n}}X_1+\frac{y_n}{\sigma\sqrt{n}}$, que$U_n$ converge en la distribución a una variable aleatoria normal estándar, que$V_n$ converge casi seguramente a$X_1$, y en particular que$V_n$ converge en la distribución a$X_1$. Como el límite en la distribución es único,$U_n$ también converge en la distribución a$X_1$, por lo tanto,$X_1$ es de hecho estándar normal.