¿Cómo puedo imaginar un modelo de $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$?

Question

Gödel del segundo teorema de la incompletitud de los estados que si $\mathsf{ZF-Inf}$ es consistente, entonces $\mathsf{ZF-Inf} \nvdash \mathsf{Con(ZF-Inf)}$. Por otra parte, si $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$ eran inconsistentes, entonces (bajo la condición de $\mathsf{ZF-Inf}$ siendo coherente) en todos los modelos de $\mathsf{ZF-Inf}$ es cierto que $\mathsf{Con(ZF-Inf)}$. Por lo tanto, $\mathsf{ZF-Inf} \vdash \mathsf{Con(ZF-Inf)}$. Por contradicción, esto implica que $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$ es consistente.

¿Cómo puedo imaginar un modelo de $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$?

En mi opinión me parece muy extraño tener un modelo de $\mathsf{ZF-Inf}$ donde $\mathsf{ZF-Inf}$ no es consistente. Esto significa que es posible probar de todo en este modelo? Esto no es posible como $M \vDash\varphi$ $M \vDash \neg \varphi$ no son posibles para un modelo de $M$.

O, vamos a $M$ ser un modelo de $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$. Entonces es cada codificación de $\mathsf{ZF-Inf}$ $M$ inconsistentes, es decir, $PA$ y la aritmética son consistentes en $M$. Por lo $M$ es un modelo en el que la aritmética es incompatible?

Tal vez esta pregunta no es que inteligentes, o muestra una falta de entendimiento, a continuación, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Por el bien de esta respuesta, vamos a corregir algunos teoría de la $T$, lo que podría ser $\mathsf{(ZF-Inf)} + \neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$, y "comprobable" en ambos sentidos siempre significa "a partir de los axiomas de $T$". También vamos a arreglar algunos (no estándar) modelo de $M$$T$.

Hay una distinción entre lo "real" provability relación, $T \vdash \phi$, y la formalizado provability relación dentro de un modelo. Vamos a escribir que como $\text{Pvbl}^M_T(\phi)$.

El real provability cuantifica la relación real de pruebas: $T \vdash \phi$ mantiene si y sólo si existe una prueba de $\phi$ a partir de los axiomas de $T$. La formalizado provability relación en $M$ cuantifica sobre los números naturales de $M$ (que incluyen números no estándar). Por lo $\text{Pvbl}^M_T(\phi)$ mantiene si y sólo si existe un número natural en $M$ que aparece el código de una prueba de $\phi$ a partir de los axiomas de $T$.

Que "codificado" a prueba puede variar de una prueba real de dos maneras. En primer lugar, si los axiomas de $T$ incluir cualquier axioma de los programas (como el ejemplo de arriba), a continuación, estos esquemas de axioma "no estándar axiomas" correspondientes a los números no estándar de $M$. Tales "no estándar axiomas" podría aparecer en un código de prueba. Segundo, un código de prueba puede tener una longitud no estándar. Así que hay dos razones por las $\text{Pvbl}^M_T(\phi)$ no implica $T \vdash \phi$.

Ahora, para el $T$ en cuestión, que de hecho tendrá que $\text{Pvbl}^M_T(\phi)$ tiene para todos los $\phi$. Esto es debido a que tenemos $\text{Pvbl}^M_T(0 \not = 1)$, por los axiomas de $\mathsf{ZFC} - \mathsf{Inf}$, y también se $\text{Pvbl}^M_T(0 = 1)$, por el axioma $\neg \mathsf{Con(ZF-Inf)}$. El resultado global que sigue a continuación, debido a que $T$ incluye la lógica clásica, y esto se formaliza en el $\text{Pvbl}$ relación.

La parte más profunda de la cuestión es por qué $\text{Pvbl}^M_T(\phi)$ no implica que $M$ satisface $\phi$, escrito como de costumbre,$M \vDash \phi$. Esta pregunta es natural, porque sabemos de la solidez teorema que $T \vdash \phi$ $M \vDash T$ juntos implican $M \vDash \phi$. El problema es que $M$ no puede definir su propia satisfacción relación "$M \vDash \phi$". Por lo que la costumbre semántica prueba de la solidez teorema no puede quedar fuera de la tierra.