¿Qué es el complemento de$S$ en$\mathbb{R^3}$

Question

Tengo dos preguntas cortas, y creo que están totalmente relacionados!

Pregunta1: Si puedo tomar set $S=\{(x,x+y,x+y): x,y∈\mathbb{R}\}$ $(\mathbb R^3\backslash S)=?$

Mi intento: $(\mathbb R^3\backslash S)=\mathbb{R^3}-S$

$= \{(x,y,z)∈\mathbb{R^3}: z<y \text{ or }z>y\}$ ¿es correcto esto?

Pregunta2: ¿dónde puedo expresar $(\mathbb R^3\backslash S)$ como la unión de dos abiertos disjuntos pone en $\mathbb{R^3}$?

Mi intento: sí se puede,

$(\mathbb R^3\backslash S)=\{(x,y,z)∈\mathbb{R^3}: z<y \text{ or }z>y\}$

$=\{(x,y,z)∈\mathbb{R^3}: z<y\} ∪ \{(x,y,z)∈\mathbb{R^3}:z>y\}$ es que esto es correcto?

Por favor me ayude. mis intentos son correctos o no? y si sí, entonces en general, ¿cómo podemos encontrar el complemento de conjunto en las dimensiones superiores?

Answer 1

Usted hizo exactamente lo correcto, incluyendo su propia solución. Voy a escribir los elementos de $S$ $(s, u, u)$ donde $u = s + t$, que en términos de $x$$y$, debido a que me da la libertad de uso de las $x, y, z$ para el primer, segundo, tercer coordenadas. Esta descripción es completa, porque si me dará $(s, u, u)$, puede recuperarse de ella $t = u-s$, por lo que cada elemento de la forma $(s, u, u)$ es en su $S$, y cada elemento en $S$ tiene la forma $(s, u, u)$.

Como usted ha observado, cualquier punto en $S$$y = z$, pero $x$ puede ser cualquier cosa. Por lo tanto, los puntos de con $y \ne z$ (y con cualquier $x$-valor en todos) no se en $S$. Por lo que su descripción de el complemento de $S$ como la unión de los dos conjuntos es correcta.

Son los dos conjuntos disjuntos? Claramente sí, para $y > z$ $y < z$ son incompatibles.

Son los dos conjuntos abiertos? Sí, cada uno es un abierto de la mitad de espacio. Que tiene un poco de probar, pero no mucho. La más sencilla prueba que puedo ver es a considerar el mapa $$f: \Bbb R^3 \to \Bbb R^2 : (x, y, z) \mapsto y-z$$.

Este mapa es evidentemente continua. Pero sus dos juegos (vamos a llamarlos $P$$Q$) son simplemente $$ P = f^{-1}( (0, \infty) )\\ Q = f^{-1}( (-\infty, 0) ) $$ donde por $(0, \infty)$, me refiero a que el intervalo abierto que consta de todos los reales positivos. Debido a que la preimagen de un conjunto abierto en continuo mapa está siempre abierta, en su conjunto $P$ está abierto. Un argumento similar funciona para $Q$.

Buen trabajo!

Una última cosa: usted ha pedido una segunda pregunta (¿cómo podemos encontrar el complemento de un conjunto de dimensiones superiores?), cual es generalmente mal visto, pero me voy a dar una rápida respuesta aquí de todos modos: en general, es difícil. Encontrar agradable correspondencias entre dichos complementos y cosas que "entender" (como eje alineado a la mitad-de los espacios, etc.) es a menudo un gran desafío. Por ejemplo, si usted toma un arco en el espacio de 3 dimensiones, un empate (suelto) nudo en ella y, a continuación, pegue los extremos juntos, usted consigue algo que topologists llamar a un "nudo". El complemento de este nudo resulta a veces ser topológicamente bastante complicado, y herramientas para simplemente describiendo nudo-complementos son en sí mismos no son triviales. Y eso es para un solo arco en 3 dimensiones!