inducción matemática

Question

Estoy haciendo inducción matemática. Yo estoy atascado con la pregunta. El lateral izquierdo no está igual a la derecha. Por favor orientarme cómo hacerlo aún más.

$1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + \cdots + n(n+2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)$.

Sol:

$P(n):\ 1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + \cdots + n(n+2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)$.

$P(1):\ \frac{1}{6}(2)(9) = \frac{1}{2}(2)(3)$.

$P(1): 3$.

Por lo tanto es verdad $n=n_0 = 1$.

Que sea verdad $n=k$.

$P(k):\ 1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + k(k+2) = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+7)$.

Tenemos que demostrar

$P(k+1):\ 1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + (k+1)(k+3)= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9)$.

Teniendo el lado izquierdo: $$\begin{align} 1\cdot 3 + 2\cdot 4+\cdots + (k+1)(k+2) &= 1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + k(k+2) + (k+1)(k+3)\ &= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9) + (k+1)(k+3)\ &= \frac{1}{6}(k+1)\left[(k+2)(2k+9) + 6k+18\right]\ &= \frac{1}{6}(k+1)\left[2k^2 + 13k + 18 + 6k + 18\right]\ &= \frac{1}{6}(k+1)\left[2k^2 + 19k + 36\right]. \end{align} $$

Answer 1

SUGERENCIA $\: $ Primer trivialmente inductivamente demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo de la Diferencia de

$$\rm\ F(n)\ =\ \sum_{i\: =\: 1}^n\:\ f(i)\ \ \iff\ \ \ F(n) - F(n-1)\ =\ f(n),\quad\ F(0) = 0$$

Su caso especial ahora sigue inmediatamente al señalar que

$$\rm\ F(n)\ =\ \dfrac{n\ (n+1)\ (2\:n+7)}{6}\ \ \Rightarrow\ \ F(n)-F(n-1)\ =\: n\ (n+2)\:.\ $$ Tenga en cuenta que al emplear el Teorema Fundamental, hemos reducido la prueba para el trivial de mecánica de la verificación de una ecuación polinómica. Absolutamente ningún ingenio es necesario.

Tenga en cuenta que la prueba del Teorema Fundamental es mucho más obvia que para su caso especial, porque el telescópica de cancelación es obvio en este nivel de generalidad, mientras que es generalmente ofuscado en la mayoría de los casos específicos. Es decir, la prueba del Teorema Fundamental es solo un riguroso inductivo prueba de la siguiente telescópica de cancelación $$\rm - F(0)\!+\!F(1) -F(1)\!+\!F(2) - F(2)\!+\!F(3)-\:\cdots - F(n-1)\!+\!F(n)\ =\:\: -F(0) + F(n) $$ donde todos pero al final de los términos se anulan. Para una mayor discusión ver a mi muchos posts en telescopy.

Answer 2

Utiliza la fórmula equivocada en tu hipótesis de inducción. Están asumiendo que $$1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + k(k+2) = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+7)$ $ pero en su argumento inductivo, usted escribió %#% $ #%

Es decir, se sustituye $$1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + k(k+2) + (k+1)(k+3) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9) + (k+1)(k+3).$ con la fórmula $1\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + k(k+2)$, no la fórmula de $k+1$.

Answer 3

Como entiendo que usted está tratando de mostrar que para $n\geq 1$:

$$ 1\cdot 3+2\cdot 4+\cdots +n(n+2)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7). $$

Se mostró por primera vez por $n=1$:

$$ 3=1\cdot 3=\frac{1}{6}(1)(2)(9)=3 $$

Ahora suponemos que la fórmula se cumple para algunos $n\geq 1$ y tenemos la declaración de $n+1$

$$ 3\cdot 1+\cdots +n(n+1)+(n+1)(n+3). $$

Por hipótesis de inducción a la suma de los primeros a $n$ condiciones es $\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)$. Así

$$ 3\cdot 1+\cdots +n(n+1)+(n+1)(n+2)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)+(n+1)(n+3). $$

Podemos factor a cabo una $n+1$ para obtener

$$ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)+(n+1)(n+3)=(n+1)\left(\frac{1}{6}n(2n+7)+n+3\right). $$

A continuación, el factor de una $\frac{1}{6}$ para obtener

$$ \frac{1}{6}(n+1)(n(2n+7)+6n+18)=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6n+18). $$

Finalmente,

$$ \frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6n+18)=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+7). $$