Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto abierto acotado en $\mathbb{R}^n$ con $C^1$ límite. Conozco la siguiente (posible) definición para $$\int_{\partial\Omega}u\,d\sigma.$$ Para cada $x_0\in\partial\Omega$ existe un subconjunto abierto $U$ en $\mathbb{R}^n$ que contiene $x_0$ un subconjunto abierto $A$ en $\mathbb{R}^{n-1}$ y un $C^1$ función $g:A\rightarrow\mathbb{R}$ tal que su gráfico es $G_g=\partial\Omega\cap U$ . Por la compacidad de $\partial\Omega$ podemos escribir $\partial\Omega=\cup_{j=1}^N U_j$ donde cada $U_j$ está abierto en $\mathbb{R}^n$ y $\partial\Omega\cap U_j=G_{g_j}$ , donde $g_j:A_j\rightarrow\mathbb{R}$ es $C^1$ . Tome una partición de la unidad $\{\eta_j\}_{j=1}^N$ correspondiente a $\{U_j\}_{j=1}^N$ : $\eta_j\in C_c^{\infty}(U_j)$ , $0\leq\eta_j\leq 1$ y $\sum_{j=1}^N\eta_j=1$ en $\partial \Omega$ .
Dejemos que $u:\partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ medible. Definir $u_j=u\,\eta_j$ que tiene soporte en $U_j$ . Entonces: $$\int_{\partial\Omega}u\,d\sigma=\sum_{j=1}^N\int_{A_j}u_j(x',g_j(x'))\sqrt{1+|\nabla g_j(x')|^2}\,dx'$$ (siempre que exista el lado derecho).
Mis dos dudas son las siguientes:
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Dado un subconjunto $\Gamma$ de $\partial\Omega$ en qué sentido se entiende $\int_\Gamma u\,d\sigma$ ? ¿Es cierto que $$\int_{\partial\Omega}u\,1_\Gamma\,d\sigma=\int_\Gamma u\,d\sigma\,?$$ ( $1_\Gamma$ es la función característica en $\Gamma$ ).
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Si $u_m\rightarrow u$ en $L^p(\partial\Omega)$ ¿es cierto que existe una subsecuencia $u_{m_k}$ que converge puntualmente en casi todas partes en $\partial\Omega$ ?
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Quiere decir "Por compacidad de $\bar\Omega$ " o "Por compacidad de $\partial\Omega$ "desde $\Omega$ no es compacto.
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Al menos debemos tener $\Gamma$ mensurable.
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No has definido $\int_\Gamma$ cuando $\Gamma$ no es el límite de un conjunto abierto acotado. Por tanto, la primera pregunta no tiene sentido. Pero podemos utilizar la ecuación para definir $\int_\Gamma u \, d\sigma$ y entonces la ecuación será, por supuesto, cierta.