como prueba de la unicidad del subconjunto de números positivos

Question

Estoy pensando en el siguiente problema: Es el subconjunto de los números reales positivos único, de acuerdo a la Positividad Axioma (cf: Página 8, Fitzpatrick, Análisis Real, 4ª edición):

... No es un conjunto de números reales, que se denota por a $\mathcal{P}$, llamado el conjunto de los números positivos. Tiene las dos propiedades siguientes:

P1 Si $a$ $b$ son positivos, $ab$ $a+b$ también son positivos.

P2 Para un número real a, exactamente una de las tres alternativas siguientes es verdadera: $$a\text{ is positive, $- $ is positive, $=0$.}$$

Con el fin de demostrar la singularidad de que el subconjunto de los números positivos, he intentado como esta: Supongamos que existen dos subconjuntos de los números positivos, que se denota por a$\mathcal{P}_1, $$\mathcal{P}_2$, luego me han demostrado que, a $1\in\mathcal{P}_1\cap \mathcal{P}_2$, entonces yo no sé qué hacer. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

P1 Si a y b son positivos, entonces ab y a+b también son positivos.

P2 Para un número real a, exactamente una de las tres alternativas siguientes es verdadera: una es positiva, −a es positivo, a=0.

Creo que la singularidad está buscando desprende de 'P2' en sí. Tal vez una formalización es superfluo y no sé cómo escribir de manera rigurosa, ya que no podemos siquiera decir "el conjunto de $all$ números positivos" si estamos hablando de la singularidad. De todos modos voy a intentar explicar mejor lo que quiero decir:

Supongamos que el conjunto de los números positivos no es única, por lo que hay $\cal{S}_1$$\cal{S}_2$, los conjuntos de números positivos. Si $\cal{S}_1$ $\cal{S}_2$ representan diferentes conjuntos, entonces deben diferir en menos de un elemento, por ejemplo un número de $a\ne 0$ satisfactorio 'P1'. Este número aparecerá como $a$ $\cal{S}_1$ y $-a$$\cal{S}_2$, o viceversa. Pero esto no es posible debido a 'P2': sólo uno de entre $a$ $-a$ puede ser considerada como positiva.

Answer 2

No es el único. A partir de sus axiomas, es fácil determinar que los números racionales son positivas y las que no lo son, porque se puede "llegar" $1$ mediante la aplicación de las operaciones algebraicas de (P1). Pero escoger cualquier transcedent número, decir $\pi$, y fijar su signo lo que quieras. Esto arreglará el signo de todos los números que pueden, en algunos algebraicas camino construido a partir de los números racionales e $\pi$ (este campo es generalmente llamado $\mathbb{Q}[\pi]$), pero el resto de los números reales son todavía arbitrariamente firmado, y esto es de hecho un "positivo", como se describe por los axiomas.

Esto lleva a casa el punto de que trascendente números son un extraño y arbitrario, además del número del sistema, siempre y cuando solo hablamos de álgebra. Para hacer sentido de ellos (a definir en la costumbre, o tal vez todas maneras sensatas), uno debe hacer mención de las propiedades topológicas de la línea real.