Ejercicio 2.12 de Harris - Geoemetry algebraica: un primer curso

Question

Considerar las tres líneas de $\mathbb{P}^3$ dada por

$L: \, z_0 = z_1 = 0 \\ M: \, z_2=z_3 = 0 \\ N: \, z_0 = z_2, \, z_1 = z_3.$

Se afirma en el Ejercicio 2.12 de Harris (primer curso) que la unión de todas las líneas que cumplen con todos los $L,M,N$ es projectively equivalente al segre variedad $\Sigma_{1,1} = \sigma(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1)$ donde $\sigma$ es el Segre y la incrustación.

He estado pensando acerca de este problema, pero todavía estoy confundido acerca de algunas cosas importantes:

1) Conceptualmente, una línea de $\mathbb{P}^3$ puede ser representada por un punto de $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^3$. Por otro lado $\Sigma_{1,1}$ vive en el interior de $\mathbb{P}^3$. Así que no veo cómo un punto de $\Sigma_{1,1}$ puede corresponder a una línea.

2) Si puedo tomar una línea que cumple con los tres $L,M,N$, entonces los coeficientes de las ecuaciones de la línea de satisfacer las tres ecuaciones cuadráticas y que es precisamente el espacio de las líneas que cumplen los tres $L,M,N$. Ahora, estos son tres ecuaciones en $8$ incógnitas y yo no puedo ver cómo podría ser reemplazado por una ecuación de $4$ incógnitas, que es la ecuación que describe la $\Sigma_{1,1}$.

Cualquier conocimiento?

Answer 1

Sea $X$ el lugar geométrico de las líneas $\ell\subset\mathbb P^3$reunión $L,M,N$.

Sugerencias:

1. Puede suponer hasta un elemento de $PGL(4,\mathbb C)$ $L,M,N$ se encuentran en la superficie cuádrica $Q\subset \mathbb P^3$ (que pertenece a una de las dos familias de líneas). Esto debe decir $X\supseteq Q$.
2. Una línea genérica $\ell\subset\mathbb P^3$ cumple $Q$ en sólo dos puntos. Esto debe decir $X\subseteq Q$.