Convergencia fuerte y débil en $\ell^1$

Question

Dejemos que $\ell^1$ sea el espacio de las secuencias reales o complejas absolutamente sumables. Digamos que una secuencia $(x_1, x_2, \ldots)$ de vectores en $\ell^1$ converge débilmente a $x \in \ell^1$ si para todo funcional lineal acotado $\varphi \in (\ell^1)^*$ , $\varphi(x_n) \rightarrow \varphi(x)$ como $n \to \infty$ . ¿Cómo puedo demostrar que la convergencia débil, en este sentido, es la misma que la convergencia en la norma habitual? Está claro que la convergencia débil implica la convergencia puntual, pero eso no es suficiente para concluir la convergencia fuerte...

Por linealidad, basta con demostrar que si $\varphi(x_n) \longrightarrow 0$ por cada $\varphi \in (\ell^1)^*$ entonces $\| x_n \| \longrightarrow 0$ . Sea $x_n(k)$ sea el $k$ -ésima componente del vector $x_n$ . Entonces, $x_n(k) \longrightarrow 0$ por cada $k$ Así que $\sup_n |x_n(k)| < \infty$ para cada $k$ y esto implica $$\lim_{N \to \infty} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{N} |x_n(k)| = 0$$ Esto es casi lo que quiero, pero los límites están al revés. Lo siguiente que hay que intentar es construir algún funcional inteligente, o incluso una familia de funcionales inteligentes, pero no se me ocurre nada útil. Veo que la convergencia puntual no es suficiente: si $x_n$ es el vector base estándar, entonces $x_n \longrightarrow 0$ en cuanto a los puntos, pero $\| x_n \| = 1$ para todos $n$ . El hecho de que no converja fuertemente puede ser detectado por el funcional lineal $\varphi(x_n) = \sum_k x_n(k)$ pero no sé cómo generalizarlo.

Answer 1

Dejemos que $\left\{y^{(n)}\right\}\subset \ell^1$ una secuencia que converge débilmente a $0$ en $\ell^1$ . Suponemos que esta secuencia no converge en norma, existe $\varepsilon >0$ tal que $\lVert y^{(n)}\rVert\geqslant 3\varepsilon$ (si no es el caso, tomaremos una subsecuencia). Demostraremos que existe $x\in \ell^{\infty}$ y una subsecuencia $\left\{y^{(k_j)}\right\}$ tal que $\langle x,y^{(k_j)}\rangle >\varepsilon$ . Sea $n_0$ tal que $\sum_{n\geqslant n_0+1}|y^{(0)}_n|<\varepsilon$ . Para $0\leqslant k\leqslant n_0$ tomamos $x_k = \operatorname{sgn}y^{(0)}_k$ . Para todos los $x\in \ell^{\infty}$ cuyo $n_0$ las primeras coordenadas son $x_k$ tenemos $\langle x,y^{(0)}\rangle>\varepsilon$ . A partir de la convergencia débil, podemos encontrar $k_1$ tal que para $k\geqslant k_1$ tenemos $\sum_{n=0}^{n_0} x_ny_n^{(k)}<\varepsilon$ . Podemos encontrar $n_1>n_0$ y $x_{n_0+1},\cdots,x_{n_1}$ con $|x_j|\leqslant 1$ de manera que si $x\in \ell^{\infty}$ con el $n_1$ -las primeras coordenadas son $x_j$ tenemos $\langle x,y^{(1)}\rangle>\varepsilon$ . De esta manera, obtendremos una subsecuencia $\left\{ y^{(k_j)}\right\}$ y un $x\in \ell^{\infty}$ tal que $\langle x,y^{(k_j)}\rangle>\varepsilon$ . Esto contradice la débil convergencia a $0$ .