- Caso $1 \le p < N$: vamos a $\{u_n\} \subset B_{W^{1,p}(\Omega)}(0,1)$, tenemos que mostrar que existe una larga $\{u_{n_k}\}$ y una función de $u \in L^p(\Omega)$ tal que $u_{n_k} \to u$$L^p(\Omega)$. La principal dificultad es que no podemos aplicar directamente el Rellich-Kondrachov Teorema ya que no tenemos ninguna información acerca de la regularidad del dominio $\Omega$. Aquí es una manera de evitar este problema:
Hecho: (voy a dejar esto como un ejercicio -inserte risa diabólica-)
Deje $B$ ser un conjunto abierto, y deje $A \subset B$ tal que $\text{dist}(A,\partial B) \ge \eta$, para algunos fiven $\eta > 0$. Entonces existe un conjunto abierto $C$ de la clase $C^1$ tal que $A \subset C \subset B$ $\text{dist}(C,\partial B) > \eta/2.$
Considere la posibilidad de $\Omega_1 \subset \Omega$ como en el enunciado del problema y encontrar $U_1$ abierto y de clase $C^1$ anterior. La aplicación de la RKT a $\{u_n\}$ restringido a $U_1$ podemos encontrar una larga $\{u_n^1\} \subset \{u_n\}$ $u^1 \in L^p(U_1)$ tal que $u_n^1 \to u^1$$L^p(U_1)$. Ahora considere el $\Omega_2$ y encontrar $U_2$ anterior. A continuación, puede aplicar el RKT en $U_2$ $\{u_n^1\}$para obtener una más larga $\{u_n^2\}$ y una función de $u^2$ tal que $u_n^2 \to u^2$$L^p(U_2)$. Aviso que por la singularidad de los débiles límite, $u^1 = u^2$.e. en $U_1 \cap U_2$. Por un estándar diagonal procedimiento, $v_n = u_n^n$ converge a una función de $u$ $L^p(u_n)$ por cada $n$.
$$
\begin{align}
\|v_n - u\|_{L^p(\Omega)} = &\ \|v_n - u\|_{L^p(\Omega_n)} + \|v_n - u\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_n)} \\
\le &\ \|v_n - u\|_{L^p(U_n)} + \|v_n\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_n)} + \|u\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_n)} \\
\to &\ 0 \ \text{as } n \to \infty.
\end{align}
$$
- Caso $p > N$: te voy a mostrar el resultado de un dominio acotado $U$, la conclusión es, entonces, de la siguiente manera por una diagonal argumento exactamente como el anterior.
Disponemos de los siguientes hechos, que de nuevo voy a dejar para que usted compruebe:
- $W^{1,p}(U) \hookrightarrow C^{0,1-\frac{N}{p}}(\bar{U})$.
- $C^{0,1-\frac{N}{p}}(\bar{U}) \hookrightarrow \hookrightarrow C^{0,\alpha}(\bar{U})$ por cada $0 < \alpha < 1 - \frac{N}{p}$.
- $C^{0,\alpha}(\bar{U}) \hookrightarrow L^p(U)$.
Dado que la composición de un operador compacto con un continuo operador compacto el resultado de la siguiente manera mediante la combinación de las incrustaciones en 1,2,3.
- Caso $p = N$: Como en el caso anterior, vamos a $U$ ser un almacén de regular de dominio (la diagonal argumento puede ser aplicado). Para $q < N$ hemos $$W^{1,N}(U) \hookrightarrow W^{1,q}(U) \hookrightarrow\hookrightarrow L^s(U), \quad s < q^*.$$ To conclude the proof it is enough to notice that for $p > \frac{N}{2}$, $p^* > $ N.
La prueba de la necesidad: supongamos por contradicción que $$\limsup_{n \to \infty} \sup_{u \in B(0,1)}\int_{\Omega \setminus \Omega_n}|u|^p = \eta > 0.$$ Then we can find $\bar{n}$ and $\{u_n\}$ such that if $n \ge \bar{n}$ $$\int_{\Omega \setminus \Omega_n}|u_n|^p \ge \frac{\eta}{2}.$$
Por supuesto, $W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow \hookrightarrow L^p(\Omega)$ $\{u_n\}$ tiene larga (no recalificado) que converge. Para obtener una contradicción podemos demostrar que esta larga no es de Cauchy.
Para este fin, fix $n$ y considerar la posibilidad de $u_n \cdot \chi_{\Omega \setminus \Omega_m}$. Por Lebesgue del Teorema de Convergencia Dominada, $u_n \cdot \chi_{\Omega \setminus \Omega_m} \to 0$$L^p$$m \to \infty$. Entonces existe $\bar{m}$ que si $m \ge \bar{m}$ $$\int_{\Omega \setminus \Omega_m}|u_n|^p \le \frac{\eta}{4}.$$ Then for $m,n$ large we have $$
\begin{align}
\|u_n - u_m\|_{L^p(\Omega)} \ge &\ \|u_n - u_m\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_m)} \\
\ge &\ \|u_m\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_m)} - \|u_n\|_{L^p(\Omega \setminus \Omega_m)} \\
\ge &\ \frac{\eta}{2} - \frac{\eta}{4} = \frac{\eta}{4} > 0.
\end{align}
$$
