¿Por qué la fila de la matriz de diseño X es igual a la fila de X ' X?

Question

¿Por qué es el rango del matriz diseño del $\boldsymbol X$ igual el rango de $\boldsymbol{X'X}$? ¿Esto es cierto en todas las circunstancias?

¿Si X no es linealmente independiente, lo que el rango de X'X sería?

Answer 1

Para cualquier matriz $X$, $R(X'X) =R(X)$. Donde R() es la función fila.

Esto podría probar usando el espacio nulo. Si $Xz=0$ $z$, entonces claramente $X'Xz =0$. Por el contrario, si $X'Xz=0$, entonces el $z'X'Xz=0$, y sigue que $Xz=0$. Esto implica $X$ y $X'X$ tienen el mismo espacio nulo. Por lo tanto el resultado.