polinomio mínimo de elementos primitivos de subcampos de$p$ - extensión ciclotómica de$\Bbb Q$

Question

Consideremos $p$ un número primo. Y la primitiva p-raíz de la unidad $\zeta_p$. En general $G= Gal ( \Bbb Q (\zeta_p),\Bbb Q) \cong \Bbb Z_p^*$ (aquí no necesitamos que p sea primo). Pero, en el caso de $p$ es primo, sabemos cómo encontrar la primitiva de los generadores de los subcampos de $\Bbb Q (\zeta_p)$. Si $H\le G$ es un subgrupo, a continuación, el elemento $$ \alpha _H = \sum\limits_{\sigma \H} {\sigma \zeta _p } $$ is a primitive generator for the fixed field of $H$. Computationally talking, it's convenient to find a cyclic generator of $G$ to have generators for all the subgroup $H$. But when I'm done here, sometimes it's not easy to find minimal polynomials of $\alpha_H$. There is an easy way to do that? Over $\Bbb P$ primero. Por ejemplo, tengo que encontrar todos los subcampos de $\Bbb Q(\zeta_{11})$ encontrar todos los subcampos con un primitivo elemento y , a continuación, encontrar el polinomio mínimo de más de $\Bbb Q$ de todos ellos. Primera nota de que $\sigma = \sigma_2 $ tal que $ \sigma(\zeta_{11}) = \zeta_{11}^2 $ es un generador de $G$ , por lo que los dos subgrupos de $G$: $$ \eqalign{ Y H_2 = \left\langle {1,\sigma ^5 } \right\rangle = \left\langle {1,\sigma _{2^5 } } \right\rangle = \left\langle {1,\sigma _{10} } \right\rangle \cr Y H_{5} = \left\langle {1,\sigma ^2 ,\sigma ^4 ,\sigma ^6 ,\sigma ^8 } \right\rangle = \left\langle {1,\sigma _{2^2 } ,\sigma _{2^4 } ,\sigma _{2^6 } ,\sigma _{2^8 } } \right\rangle = \left\langle {1,\sigma dimm_4 ,\sigma _5 ,\sigma _9 ,\sigma _3 } \right\rangle \cr} $$ Donde $ \sigma_a (\zeta_{11}) = \zeta_{11}^a $ A continuación, los dos de campo fijo ( $K_2,K_5$ ), respectivamente, tienen elementos primitivos : $$ \eqalign{ & \alpha _2 = \zeta _{11} + \zeta _{11} ^{10} \cr & \alpha _5 = \zeta _{11} + \zeta _{11} ^4 + \zeta _{11} ^5 + \zeta _{11} ^9 + \zeta _{11} ^3 \cr} $$ Y ahora tengo que calcular el mínimo de polinomios sobre $\Bbb Q$ obviamente , tengo que considerar la relación $ 1+\zeta_{11}+\zeta_{11}^2+....+\zeta_{11}^{10}=0 $, Pero es muy complicado y grande de cálculo, incluso en este caso en particular .

Mi pregunta es , si existen otras maneras de calcular que miminal polinomio de estos elementos?

Answer 1

No estoy seguro si responde a tu pregunta, pero las raíces del polinomio mínimo $\sum_{\sigma\in Hg}\sigma\zeta_p$, donde $Hg$ recorre todo el cojunto de $H$ $G$. A continuación puede encontrar los coeficientes del polinomio simplemente de las relaciones de Vieta. Observe que los coeficientes son de la forma $m+n(\zeta+\dots+\zeta^{p-1})$ y se puede utilizar simplemente $\zeta+\dots+\zeta^{p-1}=-1$.