Otro ejemplo de derivada no continua

Question

Estaba tratando de construir un ejemplo de una función que es diferenciable en $0$ y alrededor de $0$ . Pero la derivada no es continua en $0$

Una familia de funciones que funcionan es: (gracias a Andrew D. Hwang por la forma general)

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^{1+\epsilon}\psi(x^{-\alpha})) & \mbox{if } x\ne0 \\ 0 & \mbox{if x=0} \end{array} \right. $$

Con $\psi$ una función periódica y acotada (o una función trigonométrica modificada) y $\alpha>0,\epsilon>0$

¿Hay algún ejemplo que no pertenezca a esta familia de funciones? (He encontrado ejemplos de este tipo, pero no estoy satisfecho con ellos por la forma en que los construí (no son profundamente diferentes), así que sigo interesado en obtener ideas).

Answer 1

Supongamos que $f$  es diferenciable en un intervalo abierto alrededor de  $0$ y que $f'$  es discontinua en  $0$ (pero continua en otros lugares, en aras de delimitar la estructura de "los ejemplos más simples").

Considere los límites "inferior" y "superior" de  $f'$ en  $0$ : $$ L_{-} = \lim_{\delta \to 0^{+}} \inf_{0 < |x| < \delta} f'(x),\qquad L_{+} = \lim_{\delta \to 0^{+}} \sup_{0 < |x| < \delta} f'(x). $$ Por Teorema de Darboux , $\lim(f', 0)$ no existe, por lo que $L_{-} < L_{+}$ (desigualdad estricta), y el intervalo $(L_{-}, L_{+})$ es "golpeado por"  $f'$ infinitas veces en cada vecindad de  $0$ .

Cualitativamente, $f'$  oscila infinitas veces (entre $L_{-}$ y $L_{+}$ ) en cada vecindad de  $0$ .

Esto no significa que cada  $f$ tiene la forma $f(x) = x^{1 + \varepsilon} \psi(x^{-\alpha})$ con $\psi$  periódico, pero sí indica por qué los contraejemplos comunes tienen esta forma.

Answer 2

En realidad tu "algo" es discontinuo en cada $1/n.$ Así que no hay manera de que $f'(1/n)$ puede existir incluso para $n=1,2,\dots$ Por supuesto, nos interesan las funciones que son diferenciables en una vecindad completa de $0$ cuyas derivadas no son continuas en $0.$ Así que esto no es un candidato. Creo que su respeto por $x^2\sin(1/x)$ puede haber subido un poco.