Demostrar la secuencia es $a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}$ no acotada arriba.
Este es el ejercicio 1.4.2 Introducción al Análisis por Arthur P. Mattuck.
La sugerencia dada en el libro es "Mostrar que $a_{n} > n$".
He intentado mostrar a esto el uso de la inducción.
Paso Básico
$a_{1} = \frac{1^{1}}{1} = 1 \not > 1$
$a_{2} = \frac{2^{2}}{2} = 2 \not > 2$
$a_{3} = \frac{3^{3}}{3} = \frac{9}{2} > 3$
Paso Inductivo
Espectáculo $\frac{n^{n}}{n!} > n \implies \frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!} > n+1$
Aquí es donde me quedo atascado.
He reducido la secuencia de lo $\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n}}{n!}$.
Me imagino que el siguiente paso es mostrar a $\frac{(n+1)^{n}}{n!} > \frac{n^{n}}{n!} + 1$, pero no estoy seguro de cómo llegar allí.
También miraba a esta pregunta ya que estaba trabajando con una ecuación similar, pero yo no era capaz de deducir cualquier cosa fuera de la discusión que podría conducir a una respuesta.
Editar:
Lado De La Pregunta
No es necesario ser resuelto mediante la inducción, o existen otros métodos de directamente demostrar este resultado? Es la inducción de un torpe o poco flexibles herramienta para este problema?
