Integral de Laplace y comportamiento de orden principal

Question

Considera la integral:

$$ \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin t}e^{-x\sin^4 t} \, dt $$

Estoy tratando de utilizar el método de Laplace para encontrar su comportamiento asintótico principal como $x\rightarrow\infty$ pero estoy teniendo problemas porque el máximo de $\phi(t)$ (es decir $-\sin^{4}t$ ) es $0$ y se produce en $0$ (Llama a esto $c$ ). En mis notas sobre el método de Laplace, se exige específicamente que $f(c)$ (en este caso $f(t)=\sqrt{\sin t}$ ) no puede ser igual a cero, pero lo es. ¿Cómo puedo evitar esto?

Answer 1

Trazar el integrando para algunos valores de $x$ :

Es evidente que el máximo se desplaza más cerca del origen a medida que $x$ crece.

Reescribamos el integrando como sigue: $$ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin(t)} \exp\left(-x \sin^4(t)\right) \mathrm{d}t = \int_0^{\pi/2} \exp\left(\frac{1}{2} \log(\sin(t))-x \sin^4(t)\right) \mathrm{d}t $$ El máximo del integrando está determinado por $$ 0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{1}{2} \log(\sin(t))-x \sin^4(t)\right) = \cot(t) \left( \frac{1}{2} - 4 x \sin^4(t)\right) $$ que está en $t_\ast = \arcsin\left((8 x)^{-1/4}\right)$ . Entonces, utilizando el método de Laplace: $$ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin(t)} \exp\left(-x \sin^4(t)\right) \mathrm{d}t \approx \int_{0}^{\pi/2} \exp\left(\phi(t_\ast) + \frac{1}{2} \phi^{\prime\prime}(t_\ast) (t-t_\ast)^2 \right) \mathrm{d}t = \exp\left(\phi(t_\ast)\right) \sqrt{\frac{2\pi}{-\phi^{\prime\prime}(t_\ast)}} $$ El álgebra fácil da $\exp\left(\phi(t_\ast)\right) = (8 \mathrm{e} x)^{-1/8}$ , $-\phi^{\prime\prime}(t_\ast) = 4 \sqrt{2 x} - 2$ , dando $$ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin(t)} \exp\left(-x \sin^4(t)\right) \mathrm{d}t \approx (8 \mathrm{e} x)^{-1/8} \sqrt{ \frac{\pi}{2 \sqrt{2 x} -1}} $$