¿La suma directa de dos subespacios cerrados está cerrada? (Espacio Hilbert)

Question

Sé que si $X$ es un espacio de Banach, entonces, la suma directa de dos subespacios cerrados $X_1$ y $X_2$ no está necesariamente cerrado. ¿Pero qué pasa si $X$ es Hilbert?

Asumo que hay algo que tiene que ver con la base orthonormal, ya que es algo que se puede pedir a un espacio Hilbert pero no a un espacio Banach.

Además, ¿la proyección de $X_1$ limitado? A saber, $P$ se define en $X_1\oplus X_2$ : $$P(x)=x\quad \text{on $ X_1 $} \qquad P(x)=0\quad \text{on $ X_2 $}$$ es $P$ limitado?

Answer 1

En el espacio de la secuencia $\ell^2$ deja $X_1$ ser el subespacio de las secuencias $x = (x_0,x_1,x_2, \ldots)$ de tal manera que $x_{2n} = 0$ para todos los números naturales $n$ y $X_2$ el subespacio de las secuencias $x$ de tal manera que $x_{2n+1} = n x_{2n}$ para todos $n$ . Es fácil ver que $X_1 \cap X_2 = \{0\}$ y que $X_1 + X_2$ es densa (por ejemplo, contiene todas las secuencias con soporte finito). Sin embargo, $X_1 + X_2$ no es todo $\ell^2$ por ejemplo, no puede contener la secuencia $x_n = 1/(n+1)$ si esto fuera $u + v$ con $u \in X_1$ y $v \in X_2$ necesitaríamos $v_{2n} = x_{2n} = 1/(2n+1)$ y $v_{2n+1} = n/(2n+1)$ pero entonces $\sum_n |v_n|^2 = \infty$ .

Cuando $X_1 \oplus X_2$ no está cerrada, la proyección $P$ de $X_1 \oplus X_2$ en $X_1$ debe ser ilimitado: de lo contrario se extendería a un operador lineal limitado $Q$ de $\overline{X_1 \oplus X_2}$ en $X_1$ ; ya que $(I - P)x \in X_2$ para $x \in X_1 \oplus X_2$ también tendríamos $(I-Q) x \in X_2$ para $x \in \overline{X_1 \oplus X_2}$ . Pero entonces $x = Qx + (I-Q)x \in X_1 \oplus X_2$ para $x \in \overline{X_1 \oplus X_2}$ contradicción.

Answer 2

Deje que $X = H_{0}^1(0,1) \mathbin{\oplus_2} L^2(0,1)$ ser la suma directa del espacio Hilbert de la Espacio Sobolev $H_{0}^1(0,1)$ (la finalización de $C_{c}^\infty(0,1)$ con respecto a la norma $\|f\|_{H^1} = (\|f\|_{L^2}^2 +\|f'\|_{L^2}^2)^{1/2}$ ) y el habitual espacio Hilbert $L^2(0,1)$ . Luego $X$ es un espacio Hilbert con respecto a la norma $\|(f,g)\| = (\|f\|_{H^1}^2 + \|g\|_{L^2}^2)^{1/2}$ .

Deje que $i: H^1(0,1) \to L^2(0,1)$ ser la inclusión natural. El gráfico $\Gamma = \{ (f,f)\,:\,f \in H_{0}^1\} \subset X$ de la función $i: H_{0}^1 \to L^2$ está cerrado porque $i$ está limitada: $\|i(f)\|_{L^2} = \|f\|_{L^2} \leq \|f\|_{H^{1}}$ . El subespacio $U = H_{0}^{1}(0,1) \mathbin{\oplus_2} \{0\}$ también está cerrado en $X$ . Afirmo que $\Gamma + U$ no está cerrado en $X$ .

La imagen $i(H_{0}^1) \subset L^2$ es densa porque $H_{0}^1(0,1)$ contiene $C_{c}^\infty(0,1)$ y $i$ no está en porque funciona en $H_{0}^1$ tienen representantes absolutamente continuos. Por lo tanto, hay $g \in L^2 \smallsetminus H_{0}^1$ y hay $f_n \in H_{0}^1$ de tal manera que $\|g - f_n\|_{L^2} \to 0$ . Ahora note que $(0,f_n) = (f_n,f_n) + (-f_n,0) \in \Gamma + U$ así que $(0,g)$ está en el cierre de $\Gamma + U$ pero no en $\Gamma + U$ en sí mismo.

Este es un caso especial de mi respuesta aquí adaptado al entorno espacial de Hilbert.