¿$||f_j-f||_p \rightarrow 0$ Implica$||f_j||_p \rightarrow ||f||_p$?

Question

Que $f_j, f\in L^p(\Omega)$ tal que $||f_j-f||_p \rightarrow 0 $ $j\rightarrow \infty$. ¿Hace este impy que $||f_j||_p \rightarrow ||f||_p$?

¿Sé que existe un subsequence ${f_{j_k}}\subset {fj}$ $$ f{j_k}(x) \rightarrow f(x) \quad \text{ for a.e. }x\in \Omega \quad \text{ as } \quad j_k\rightarrow \infty.$ $ hace que resultado jugar ningún papel en esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $p\geq 1$: $$ \left| |f_i|_P-|f|_P \right| \leq |f_i-f|P. $$ por lo tanto: $$ \lim{n\to\infty} (|f_i|_p-|f|_p)=0 $$ y de $fi,f\in L^p$, tenemos: $$ \lim{n\to\infty} |f_i|_p= |f|_p. $$ cuando $p=1$, este es lema de Scheffe.

Answer 2

Con la igualdad de triángulo inverso se obtiene

$$\vert \Vert f_j\Vert_p - \Vert f\Vert_p\vert \leq \Vert f_j-f\Vert_p \to 0 \quad \text{as} \quad j \to \infty.$$

Esto funciona en general espacios normados (y no es ninguna propiedad especial de los espacios de % de $L^p$).

Answer 3

Como Yaddle ha señalado, la propiedad es true en cualquier espacio normado. Versión Resumen de la solución: por la igualdad de triángulo inverso, la norma es continua. Ahora, $$ \lim_{n\to\infty}fn = f\implies \lim{n\to\infty}|| fn || = || \lim{n\to\infty}f_n|| = || f ||. $$