A veces, un ejemplo es más útil. Voy a utilizar las convenciones de las Matemáticas porque estoy bloqueado en el en los. La transformada de Fourier consiste en las funciones propias $e_{\lambda}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\lambda t}$$\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$.
$$
x^{\wedge}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\lambda t}\,dt = `(x,e_{\lambda})".
$$
Y la inversa de la transformada de Fourier de la de arriba le da la espalda a la función original, y puede ser escrito en forma análoga a lo finito-dimensional eigenfunction expansiones:
$$
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^{\wedge}(\lambda)e^{i\lambda t}\,d\lambda = \int_{-\infty}^{\infty} (x,e_{\lambda})e_{\lambda}\,d\lambda.
$$
Técnicamente, el $e_{\lambda}$ no son funciones propias, ya que no están en $L^{2}(\mathbb{R})$, pero que satisfacen $\frac{1}{i}\frac{d}{dt}e_{\lambda}=\lambda e_{\lambda}$ como funciones. La expansión de la derecha se ve como una generalización natural de un número finito de ortonormales de expansión $\sum_{n=1}^{N}(x,e_{n})e_{n}$, y esa es la belleza de esta notación. Para los operadores de Quantum, es siempre cierto que los paquetes de onda (es decir, integral "sumas" de la $|\lambda\rangle$ con respecto al $\lambda$ durante los intervalos de $\lambda$) en la $L^{2}(\mathbb{R})$. Por ejemplo,
$$
\int_{a}^{b}e_{\lambda}\,d\lambda = \frac{e^{itb}-e^{ita}}{t}
$$
es una función en $L^{2}(\mathbb{R})$, y el siguiente sugerente fórmula tiene por $-\infty < a < b < \infty$:
$$
\frac{1}{i}\frac{d}{dt}\int_{a}^{b}e_{\lambda}\,d\lambda
= \int_{a}^{b}\lambda e_{\lambda}\,d\lambda\approx \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}e_{\lambda}\,d\lambda.
$$
Si $b-a\approx 0$, $\int_{a}^{b}e_{\lambda}\,d\lambda$ es un "aproximado" autovector de a $\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$ con autovalor $(a+b)/2$. La integral es, sin duda en $L^{2}(\mathbb{R})$, pero la precisión de que es un autovector con una clara autovalor se pierde, aunque bien aproximado por encima de cualquier pequeño $\lambda$ intervalo de $[a,b]$. Hay un ortogonalidad:
$$
\int_{a}^{b}c(\lambda)e_{\lambda}\,d\lambda \asesino \int_{a'}^{b'}e_{\lambda}d(\lambda)\,d\lambda = 0 \mbox{ siempre }[a,b]\cap[a',b']\mbox{ ha $0$ de la longitud.}
$$
Más generalmente, se tiene el sugerente integral interior-producto fórmulas,
$$
\left(\int_{a}^{b}c(\lambda)e_{\lambda}\,d\lambda,
\int_{a'}^{b'}d(\lambda)e_{\lambda}\,d\lambda\right)
= \int_{[a,b]\cap[a',b']}c(\lambda)\overline{d(\lambda)}\,d\lambda\\
\left\|\int_{a}^{b}c(\lambda)e_{\lambda}\,d\lambda\right\|
= \int_{a}^{b}|c(\lambda)|^{2}\,d\lambda\\
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}(x,e_{\lambda})e_{\lambda}(t)\,d\lambda\\
(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}(x,e_{\lambda})(e_{\lambda},y)\,d\lambda.
$$
Yo se lo dejo a usted para escribir estas cosas en la notación de la Física.
No están definidas las cuestiones relativas a cómo (si es posible) para parametrizar $\lambda\rightarrow e_{\lambda}$ en una manera suave, al menos cuando se trata de la general, el teorema. Y hay cuestiones de multipliciity, lo que significa que puede tomar múltiples eigentheads $\lambda\rightarrow e_{\lambda}$, $\lambda\rightarrow e_{\lambda}'$, etc., para obtener la deseada, la plena representación. Esto es a menudo ignorado porque no pop up en simples problemas clásicos. Pero esas cuestiones deben abordarse en algún momento. También, a veces, se necesita una mezcla de integral "sumas" y discretas cantidades de dinero. Es posible tener la normalización de las densidades que están en singular-medidas continuas, aunque esto no ocurre en los problemas básicos y debería ser ignorado en un nivel elemental.
