El proceso básico es encontrar los puntos críticos, evaluar cada punto crítico por la búsqueda de autovalores/vectores propios utilizando el Jacobiano, determinar y trazar $x$ $y$ nullclines, parcela de algunos de dirección de los campos y el uso de todos los de este tipo de información para trazar el retrato de fase.
Se pueden ver dos puntos de vista diferentes de este proceso en este sitio web y notas.
Para su problema en particular
$$x' = 2 - 8x^2-2y^2 \\ y' = 6xy$$
Encontramos los puntos críticos donde simultáneamente, se consigue $x' = 0, y' = 0$, por lo que
$$(x, y) = (0, -1), (0, 1), \left(-\dfrac{1}{2}, 0\right), \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$$
El Jacobiano es
$$J(x, y) = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial x'}{\partial x} & \dfrac{\partial x'}{\partial y}\\\dfrac{\partial y'}{\partial x} & \dfrac{\partial y'}{\partial y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-16 x & -4y\\6y & 6x\end{bmatrix}$$
Evaluar autovalor/vector propio para cada punto crítico
$J(0, -1) \implies \lambda_{1,2} = \pm 2 i \sqrt{6}, v_{1,2} = \left(\mp i \sqrt{\frac{2}{3}}, 1\right) \implies$ espiral
$J(0, 1) \implies \lambda_{1,2} = \pm 2 i \sqrt{6}, v_{1,2} = \left(\pm i \sqrt{\frac{2}{3}}, 1\right) \implies$ espiral
$J(-\frac{1}{2}, 0) \implies \lambda_{1,2} = (8, -3), v_{1} = (1,0), v_2 = (0, 1) \implies$ silla
$J(\frac{1}{2}, 0) \implies \lambda_{1,2} = (-8, 3), v_{1} = (1,0), v_2 = (0, 1) \implies$ silla
El uso de todos los anteriores (puntos críticos, los autovalores/vectores propios, x-nullcline (rojo y negro de las curvas), y-nullcline (curva verde), en dirección a los campos, etc.), ahora se puede esbozar el retrato de fase. Ejercicio - asegúrese de agregar la dirección de los campos de los dos conjuntos de notas enlazado más arriba) para entender cómo hacerlo. La fase de retrato se verá así:
![enter image description here]()
