¿Por qué las personas presentan isotopías para demostrar que dos espacios son homeomórficos?

Question

Al buscar una prueba rigurosa del hecho de que la Esfera Cuernos de Alejandro junto con el volumen que delimita es homeomorfo a una 3-bola, he encontrado una serie de publicaciones en la web que intentan explicar este hecho mostrando que podemos deformar continuamente una 3-bola en la Esfera Cuernos de Alejandro y el volumen que delimita sin mover dos puntos distintos al mismo lugar en ningún momento. La cosa es que eso no es un homeomorfismo, es una isotopía. En general, cuando me gustaría encontrar una prueba del hecho de que dos espacios son homeomorfos, a menudo solo encuentro numerosos enlaces a algún video o imagen que ilustra una isotopía entre los dos espacios. Sin embargo, por lo que puedo ver, el hecho de que dos espacios topológicos sean isotópicos no es de ninguna manera una condición suficiente para que esos espacios sean homeomorfos, y nunca veo justificación alguna de que estas isotopías produzcan homeomorfismos. Esto me resulta muy frustrante porque generalmente puedo deducir con relativa facilidad que dos espacios son isotópicos, pero me resulta mucho más difícil ver que dos espacios son homeomorfos. Así, termino sin aprender nada del tiempo que paso investigando estas preguntas. Supongo que lo que estoy preguntando entonces es, ¿por qué veo estos dos conceptos equiparados tan frecuentemente en ejemplos específicos? Además, ¿en qué condiciones es isotópico equivalente a homeomorfismo? Mi conjetura es que debe haber algún hecho bien conocido que relacione los dos conceptos del que no tengo conocimiento, pero si este es el caso, entonces no puedo encontrar este hecho en ninguna parte. Gracias por su tiempo, cualquier respuesta será muy apreciada.

Answer 1

1) Isotopía es una relación de equivalencia en subconjuntos de algún espacio $Y$. (Incluso mejor, en funciones de inclusión $X \to Y$.) Normalmente se dice que $f: X \to Y$ y $g: X \to Y$ son isotópicas si hay una homotopía a través de funciones de inclusión entre ellos. En particular, no son subconjuntos los que normalmente se llaman isotópicos, son funciones. (Se puede pasar a subconjuntos si así lo desean diciendo que hay una función de inclusión desde $X$ cuya imagen es cada subconjunto que las funciones de inclusión son homotópicas, pero... bla). Pero en particular, incluso si haces esto, es automático que los subconjuntos son homeomorfos. Uno no está realmente interesado en el tipo de homeomorfismo del subconjunto, sino más bien en cómo están incrustados. (Ver 3).)

2) Como se mencionó en el comentario, esto ya no es lo mismo si tu función es solo inyectiva: hay muchas funciones inyectivas que no son funciones de inclusión. Una es dibujar la letra 8; esa es una función inyectiva desde $\Bbb R$ cuya imagen no es homeomorfa a $\Bbb R$. Pero si tu dominio $X$ es compacto (y codominio Hausdorff, pero nunca he escuchado a nadie preocuparse por la isotopía cuando el codominio no es, como, una variedad) entonces esto es lo mismo que una función de inclusión.

3) Isotopía, tal como se ha establecido, es una relación de equivalencia tonta. Toma nudos en $S^3$. A menos que modifiquemos la definición, cada nudo "doméstico" es isotópico (esto incluye cada nudo que hayas visto). Realmente quieres trabajar con i) isotopía ambiental o ii) alguna condición suave/localmente plana/PL en tus funciones de inclusión y tus isotopías. (i y ii son básicamente equivalentes). Entonces, por ejemplo, el trebol y el círculo ya no son isotópicos.