Estoy tratando de conseguir un bloqueo de la solución de los problemas que pedir para "demostrar el límite". Una de las preguntas sobre nuestros deberes anteriores fue:
La solución comienza con
.
¿Cómo sabemos que el sn está delimitado por debajo y no por encima? Creo que el siguiente paso es conectar la fórmula para Sn+1 en Sn^2 - x >= 0 , pero no estoy seguro de por qué. Creo que me va a entender el resto de la solución si usted me puede ayudar a entender esto. Gracias.
$s_n$ está acotada por debajo, porque si se examina la fórmula $$ s_{n+1} = \frac{s_n^2 + x}{2s_n} $$ entonces el numerador es positivo. Así que, mientras usted saber que $s_n$ es distinto de cero y no negativa en cada finito $n$ (cero por lo que la fórmula está bien definido), $s_{n+1}$ en el hecho de ser no negativo, por lo tanto acotada abajo por $0$.
En cuanto a porqué $s_n$ es distinto de cero: si $n$ tuvimos $s_n = 0$, pero $s_m \neq 0$ todos los $m < n$ (es decir, nos encontramos con los primeros a $n$ donde obtenemos $0$), luego $$ 0 = \frac{s_{n-1}^2 + x}{2s_{n-1}} $$ y, por tanto,$s_{n-1}^2 + x = 0$. Pero $x>0$$s_{n-1}^2 \geq 0$, así que esto es imposible.
En cuanto a porqué $s_n$ es no negativa: un argumento similar, y procede por inducción. Tienes el caso base para libre.
Finalmente, demostrando por qué es no acotada arriba: que el resto de la prueba!
En primer lugar por la inducción, es fácil entonces probar que $s_n>0$ para todos n.
$s_{n+1}=\dfrac{s^2_n+x} {2s_n}\geqslant \dfrac{2s_n\sqrt{x}}{2s_n}=\sqrt{x}$
Así $sn$ está enlazado a continuación. Ahora utilizar la inducción para probar todos $n, s{n}\leqslant s_{n-1}.$ $n=2$\begin{align} s_2-s_1&=\dfrac{s^2_1+x}{2s_1}-s1 \ &=\dfrac{x-s^2{1}}{2s_{1}} \ &\leqslant 0 \end{Alinee el}
Asumir es verdad $k<n entonces="">\begin{align} s_{n+1}-s_n&=\dfrac{s^2_n+x} {2sn}-\dfrac{s^2{n-1}+x} {2s_{n-1}} \ &=\dfrac{s^2ns{n-1}-sns^2{n-1}+x(s{n-1}-s{n})}{2sns{n-1}} \ &=\dfrac{(s{n-1}-s{n})(x-s{n-1}s{n})}{2sns{n-1}} \ &\leqslant 0 \end {Alinee el}
El último paso es verdad $s{n-1}-s{n}\geqslant 0$ y $x-s{n-1}s{n}\leqslant 0$
$s_n$ Es monotónico disminuyendo y delimitada por debajo, tiene límite.
Tomar límite en ambos lados, tenemos
$s=\dfrac{s^2+x} {2s}$ donde $s=\lim \limits_{n \to \infty}s_n$
Y $s=\sqrt{x}$
</n>
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