$(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})^*$ no es cíclica grupo $n\geq 3$

Question

Pregunta es prueba que $(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})^*$ no es cíclica grupo $n\geq 3$.

Consejo: Encontrar dos subgrupos de orden $2$.

De alguna manera siento que un grupo cíclico no puede tener dos grupos distintos de la misma orden. pero no estoy seguro acerca de la prueba.

No tengo ni idea de cómo proceder para esto.

agradecería cualquier sugerencia.

Gracias.

Answer 1

Haciendo de lhf fina respuesta (+1) tal vez un poco más concreto. Hay tres subgrupos de orden dos: $H_1={1,-1}$, $H_2={1,2^{n-1}+1}$ y $H_3={1,2^{n-1}-1}$. El no 1 en cada subgrupo tiene Plaza $\equiv1\pmod{2^n}$ como se esperaba.

Answer 2

Aquí está una manera simple de hacer esto :

1. $U(8) = \{[1],[3],[5],[7]\}$, y comprobar que $$ [3]^2 = [5]^2 = [7]^2 = [1] $$ por lo $U(8)$ no es cíclico (no tiene un elemento de orden $4 = |U(8)|$)

2. Desde $8 \mid 2^n$$n > 3$, tenemos un natural anillo de homomorphism $$ \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, \text{ dada por } [x]_{2^n} \mapsto [x]_8 $$ lo que induce a un surjective grupo homomorphism $$ U(2^n) \a U(8) $$ Puesto que el cociente de un grupo cíclico debe ser cíclico, se deduce que el $U(2^n)$ no puede ser cíclico para $n\geq 3$

Answer 3

Sigue este esquema:

• $5$ orden $m=2^{n-2}$. Para una prueba, ver http://math.stackexchange.com/a/74086/589 .

• $5^r$ $-5^r$ $r=2^{n-3}$ generar diferentes subgrupos de orden $2$.

Si sólo quieres probar que $(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})^*$ no es cíclica, es suficiente para demostrar que ningún elemento puede tener un orden $2^{n-1}$. Para una prueba, a ver Cómo demostrar por inducción que $a^{2^{k-2}} \equiv 1\pmod {2^k}$ por extraño $a$?.

Answer 4

Considerar el $\pm(2^{k-1}+1)$. ¿Cuál es el orden de estos dos elementos si $k\geqslant 3$? Nota Si son $\neq \pm 1$ $k\geqslant 3$.