Potencia compleja de un número complejo

Question

Puede alguien explicarme, paso por paso, cómo calcular todos los valores infinitos de, digamos,

$(1+i)^{3+4i}$?

Sé cómo calcular el valor principal, pero no consigues todos los infinitos valores... y no estoy seguro de cómo insertar la parte que me da los otros valores de infinito.

Answer 1

$Let (1+i)^{3+4i}=k$

Tomando ln en ambos lados nos da $(3+4i)log_e{(1+i)}=log_ek\cdots(1)$

también $(1+i)=\sqrt{1^2+1^2}e^{\frac{i\pi}4}=\sqrt2e^{\frac{i\pi}4}\cdots(2)$

$log_e(1+i)$=$log_e$($\sqrt2e^{\frac{i\pi}4}$)

Sustitución de $(2)$ $(1)$ obtenemos

$(3+4i)(log_e\sqrt2+{\frac{i\pi}4}) = log_ek$

o $k = e^{(3+4i)(log_e\sqrt2+{\frac{i\pi}4})}$

Nota :

GENERALIZACIÓN: Para evaluar los números de la forma $(a+ib)^{c+id}$

Sea $\sqrt{a^2+b^2}=r$ y el argumento de $a+ib$ $\theta$

Entonces $(a+ib)=re^{i\theta}$ = $e^{log_e(r)+i\theta}$

Por lo tanto, $(a+ib)^{c+id}=e^{{log_e}{(r)(c+id)+i\theta}(c+id)}$

Answer 2

Cuando usted escribe su número complejo como un e-power, su problema se reduce a tomar el registro de $(1+i)$. Ahora que es $\ln\sqrt{2}+ \frac{i\pi}{4}$ y aquí: + todos múltiplos de $2i\pi$. Por lo que en su e-power tiene $(3+4i) \times (\ln\sqrt{2} + \frac{i\pi}{4} + ki2\pi)$ mantengo la respuesta en forma de e-power. Ahora usted puede trabajar hacia fuera.

Answer 3

Supongamos que ya ha definido $\log r$ real $r > 0$, por ejemplo, mediante series de Taylor. Luego se le da $z, \alpha \in \mathbb{C}$, se puede definir $$z^{\alpha} = \exp(\alpha \log z)$$ donde

$$\exp(w) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{z^j}{j!} \qquad \text{and} \qquad \log(w) = \log |w| + i \arg(w)$$

Esto no está bien definida - se basa en una elección de argumento, que es bien definidas sólo hasta la adición de múltiplos de $2\pi$. Estos son los múltiplos de $2\pi$ que le dan nuevos valores de $z^{\alpha}$.

Explícitamente, si $w$ es un valor de $z^{\alpha}$, entonces también lo es $$w \cdot e^{2n \pi \alpha i}$$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$.

Hechos divertidos sobrevenir:

• si $\alpha$ es un número entero, a continuación, $z^{\alpha}$ está bien definido
• si $\alpha$ es racional, a continuación, $z^{\alpha}$ tiene un número finito de valores
• si $\alpha$ es imaginario puro, a continuación, $z^{\alpha}$ es real (pero no bien definido)

Answer 4

Vamos a encontrar, en general, $w^z$ donde $w$ $z$ son complejos. Esta expresión es, por definición, igual a $$\exp\{z\ln w\}$$ where $\ln w$ is one of the complex logarithms of $w$. That is, it is $w'$ where $$e^{w'} = w.$$ Suppose $w = re^{i\theta}$. Then $$w' = \ln r + i\theta +2ik\pi$$ where $k$ is an arbitrary integer and the $\ln$ is the ordinary real-valued logarithm. (Since $r\ge 0$ this is well-defined everywhere except for $r=0$, in which case we are dealing with $0^z$, lo que realmente es ambigua.)

Poner esta de vuelta en la fórmula original tenemos la respuesta, que $$\begin{align} (re^{i\theta})^z & = \exp\{z (\ln r + i\theta + 2ik\pi)\}\tag{%#%#%} \\ & =\exp\{z(\ln r + i\theta)\}\cdot \exp\{2ik\pi\cdot z\} \end{align}$$ donde $\star$ es un número entero.

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Ahora observar que a pesar de $k$ le parece a la lista un número infinito de soluciones, no siempre son distintas. Por ejemplo, cuando se $(\star)$ es una verdadera entero, el segundo factor, $z$ parte es de 1 por cada elección de $\exp\{2ik\pi\cdot z\}$, y por lo tanto puede ser ignorada.

Para averiguar cómo muchos de los valores de $k$ son distintos, uno debe preguntarse acerca de los valores de $(\star)$. Al $e^{2ik\pi \cdot z}$ tiene un valor distinto de cero parte imaginaria, o es un verdadero irracional, estos son todos distintos y hay una familia infinita de valores de $z$, dado por las diferentes opciones de $w^z$. Pero cuando $k$ es un verdadero número racional (de menor términos) denominador $z$, hay exactamente $n$ valores distintos.