Ejemplo de una secuencia que converge a dos límites diferentes con respecto a dos normas completas

Question

Me he preguntado sobre la siguiente pregunta:

¿Hay un ejemplo (explícita?) de un espacio vectorial $X$, dos normas completa $|\cdot|_1$ y $|\cdot|_2$ $X$ y una secuencia de $(x_n) \subseteq X$ tal que $x_n$ converge $x$ con respecto a los $|\cdot|_1$, $x_n$ converge $y$ con respecto a los $|\cdot|_2$, $x \neq y$?

Obviamente, esto implicaría que el $|\cdot|_1$ y $|\cdot|_2$ no son equivalentes. De hecho, estos dos comandos son equivalentes, que es una consecuencia del teorema de mapeo abierto.

Answer 1

Ejemplo de Bill Johnson de MathOverflow parece respuesta la pregunta.

Answer 2

No estoy seguro pero me imagino no. Tal vez ver si $(X, ||.||_1 + ||.||_2)$ es también un espacio de Banach, entonces usted probablemente obtendrá una contradicción si se asume que x no es y.

Answer 3

Esto no es posible! Obviuosly, toda norma topologías son equivalentes para findim espacios lineales, por lo que se debe buscar un ejemplo en el infinito-dim espacios. Asumiendo $x_n$ converge a $x$ $\| \cdot \|_1$ pero converge a$y$$\|\cdot \|_2$, y elija $a = \min\{ \| x-y\|_1, \| x-y \|_2 \}$. Entonces usted puede conseguir fácilmente un contraejemplo eligiendo $n$ tan grande que $x_n$ están dentro de $a/3$ $x$ medido por la primera norma, y dentro de $a/3$ $y$ medido con la segunda norma. A continuación, utilice el triángulo de la desigualdad de la distancia entre el$x$$y$, escribir $x-y = (x-x_n) - (y - x_n)$. Hecho.