Qué es una órbita principal

Question

Actualmente estoy leyendo un libro sobre variedades de Einstein.

Hay un comentario donde no sé exactamente el significado de las palabras, a saber, una cierta métrica tiene un grupo de isometries de dimensión $4$ que admite una órbita principal de dimensión $3$.

¿¿Describe la órbita principal?

¡Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Estos conceptos se explican en cada introducción a la suave Mentira acciones del grupo en los colectores, por ejemplo el capítulo $IV$ en Bredons libro "Introducción a la compactos grupos de transformaciones" (aunque se trata de un estándar de referencia personalmente considero que este libro un poco difícil de leer).

Para dar un breve resumen: El grupo de isometría $G$ de un total de Riemann colector $(M,g)$, o cualquier subgrupo cerrado de la misma, es un Liegroup actuando en $(M,g)$ por isometrías. Las órbitas $G \ast p$ $G \ast q$ de los puntos de $p$ $q$ son del mismo tipo si el istropy grupos conjugado, que es existe $g \in G$ con $G_p = gG_qg^{-1}$. $G \ast p$ es de tipo más bajo de $G \ast q$ si un conjugado de $G_q$ es un subgrupo de $G_p$, intuitivamente $G_q$ es menor que $G_p$. Es bien conocido teorema, que en el caso de $(M,g)$ es compacto y conectado existe una máxima órbita tipo, que es existe alguna $q \in M$ tales que cualquier otra órbita tiene la misma o mayor tipo de $G \ast q$. Una órbita de máxima tipo se llama director de la órbita. Hay muchos importantes de la estructura de teoremas sobre ello, por ejemplo, el conjunto de director de las órbitas está abierto, denso y convexo $M$.

Además, cualquier órbita $G \ast p$ es un integrado submanifold y por lo tanto tiene una dimensión. De hecho,$G \ast p \cong G/G_p$. Esta muestra también, que las órbitas de los más grandes tipo son esencialmente más grande y principal de las órbitas son las mayores de las órbitas.