Esquema de afinidad de la forma$X=Spec(R)$ para$R$ anillo conmutativo, como el análogo de una variedad afín$X$ con el anillo de coordenadas$R$

Question

En este increíble notas http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/clase/alggeom-2002/main.pdf pg.75 el autor exlpains aproximadamente la idea detrás de la noción de una variedad afín y cómo no afiliado con la de un esquema afín.

Ahora, mi pregunta tiene que ver principalmente con la observación 5.1.3 hacia abajo a partir de la definición de afín esquemas. Él dice que, para un determinado $f \in R$ podemos ver ésta como una función en $X$ en un estándar de sentido, es decir, por cada $\mathcal{P} \in X$ definimos $f(\mathcal{P})$ a ser el valor de la composición,$R \rightarrow R/\mathcal{P} \rightarrow \mathbb{k}(\mathcal{P})$. Eso es exactamente lo que yo no entiendo. ¿Qué tipo de función es? Los valores para las distintas $\mathcal{P} \in X$ tiene un objetivo diferente. Puede usted por favor escribir a mí, explícitamente, ¿qué quiere decir con eso? No entiendo si para cada a $\mathcal{P} \in X$ obtenemos algo como una función de $f_{\mathcal{P}}: R \rightarrow \mathbb{k}(\mathcal{P})$, o no.

P. S.

Discúlpame si el último no es correcto sólo estoy tratando de obtener lo que mi problema es!

Answer 1

Si $R$ es cualquier anillo, a continuación, se puede asociar a cualquier $f\in R$ una función

$$f:\text{Spec}(R)\to\bigsqcup_{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{p})$$

donde, por supuesto,

$$k(\mathfrak{p})=R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}$$

definido por $$f(\mathfrak{p})=\frac{f}{1}+\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}\,``\text{=''}\,f\mod \mathfrak{p}$$

Tenga en cuenta que para cualquier par de funciones $f,g$ de esta forma podemos 'agregar' al declarar que $(f+g)(\mathfrak{p})$ $f(\mathfrak{p})+g(\mathfrak{p})$ cuando la adición que está sucediendo en $k(\mathfrak{p})$ y multiplicar de manera similar-de esta forma un anillo. Esto no es sorprendente ya que

$$\left\{f\in\text{Map}\left(\text{Spec}(R),\bigsqcup_{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{p})\right):f(\mathfrak{p})\in k(\mathfrak{p})\right\}=\prod_{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{p})$$

y la asociación de un elemento $f\in R$ a la función es asociar a esta tupla tupla $(f\mod\mathfrak{p})$ y la suma es sólo esa suma.

Esto nos da una un anillo mapa

$$R\to \prod_{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{p})\subseteq\text{Map}\left(\text{Spec}(R),\bigsqcup_{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{p})\right)$$

que es, en general, no inyectiva. Es decir, el núcleo de este mapa es $\text{Nil}(R)$ que contiene precisamente la nilpotent elementos de $R$. Así, en el caso de que $R$ se reduce podemos fielmente pensar de $R$ como ser un 'anillo de funciones en $\text{Spec}(R)$' donde las funciones están valorados en esta desunido el espacio de la unión.

Aquí es un ejemplo de donde uno puede limpiar esto un poco. Es decir, vamos a suponer que $R$ es reducida y limitada tipo a través de un campo de $k$ (no necesariamente algebraicamente cerrado). A continuación, para cada ideal maximal $\mathfrak{m}\in\text{MaxSpec}(R)$ sabemos que $R/\mathfrak{m}$ es una extensión finita de $k$. Así, supongamos que hemos elegido algebraica de cierre $\overline{k}$ e incrustaciones $k(\mathfrak{m})\hookrightarrow \overline{k}$ todos los $\mathfrak{m}$. A continuación, se puede asociar a cualquier $f\in R$ a una función en

$$\left\{f\in\text{Map}\left(\text{MaxSpec}(R),\bigsqcup_{\mathfrak{m}\in\text{Spec}(R)}k(\mathfrak{m})\right):f(\mathfrak{m})\in k(\mathfrak{m})\right\} $$

que por ideas similares es un subconjunto de

$$\prod_{\mathfrak{m}\in\text{MaxSpec}(R)}k(\mathfrak{m})\hookrightarrow \prod_{\mathfrak{m}\in\text{MaxSpec}(R)}\overline{k}=\text{Map}(\text{MaxSpec}(R),\overline{k})$$

Por lo tanto, obtenemos un anillo mapa

$$R\to\text{Map}(\text{MaxSpec}(R),\overline{k})$$

que, en nuestro caso, es inyectiva. Esta es la forma usual en que uno piensa acerca de un elemento de $R$ como una función de la variedad de las $\text{MaxSpec}(R)$.

Espero que esta ayuda.

Answer 2

Estás en lo correcto de que esta "función" de las tierras en un destino distinto para cada punto! Alex ha dado una respuesta que demuestra que se puede hacer un honesto de la función. Así que la respuesta es definitivamente más peatonal.

Voy a utilizar la notación $\mathfrak{p}$ para un primer ideal de un anillo de $R$. En otras palabras, $\mathfrak{p}$ es un punto de $X=\text{Spec}(R)$.

Por ejemplo, cuando se $R=\mathbb{C}[x]$$f=x+2$, vamos a tratar de evaluar $f$ en puntos de $X=\text{Spec}(R) = \mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}$. Vamos a evaluar la función en ambos variedad sentido (clásico) y en un esquema de sentido. Tal vez esto ayude a aclarar por qué las nociones son, básicamente, la misma.

• Clásicamente, la función de $f$ simplemente toma un punto de $a\in \mathbb{A}^{1}$ y añade $2$, por lo que obtenemos un elemento $a+2\in\mathbb{C}$.
• Por otro lado, $\mathbb{C}[x]$ está formado por el primer ideal (0) y máximos ideales de $(x-a)$ por cada $a\in \mathbb{C}$. El ideal maximal $(x-a)$ (que es un punto de $X=\text{Spec}(R))$ corresponde al punto de $a\in\mathbb{A}^{1}$ en el mundo clásico. Entonces, ¿cuál es la imagen de $f$ bajo la natural $R=\mathbb{C}[x]\to \text{Frac}(\mathbb{C[x]}/(x-a))$. Bien, $\mathbb{C}[x]/(x-a) \cong \mathbb{C}$ través $x\mapsto a$ es ya un campo. Por lo tanto, naturales de nuestro mapa se vuelve $\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}$, por lo que envía a$f(x)=x+2$$a+2$. Por lo tanto, en el cerrado puntos de $\text{Spec}(\mathbb{C}[x])$, hemos descrito lo que es el mapa! Toma el ideal maximal $(x-a)$$a+2$. Esta exactamente de acuerdo con la descripción dada en el punto de viñeta anterior, una vez que identifique el ideal maximal $(x-a)$$a\in\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}$.
• Bien, ¿qué acerca de los genéricos punto de $(0)$? En otras palabras, no hemos descrito donde $f$ envía el primer ideal $(0)$. Esto es fácil, ya que $\text{Frac}(R/(0))=\text{Frac}(R)=\text{Frac}(\mathbb{C}[x])= \mathbb{C}(x)$, el campo de funciones racionales en $x$. Así, el mapa que nos interesa es la inclusión $\mathbb{C}[x]\hookrightarrow \mathbb{C}(x)$, y la imagen de $f$ bajo este mapa es sólo $f$ nuevo.