¿Puede ZFC proporcionar una teoría de la verdad para la aritmética, y expresar la verdad aritmética?

Question

Antecedentes:

Tarski demostró que la AP no es una teoría de la verdad para su propio lenguaje, es decir, no hay wff $T(x)$ en el lenguaje de la aritmética ( $L_a$ ) tal que, si $\phi$ es una frase en $L_a$ :

$$PA \vdash \phi \equiv T(\left\ulcorner \phi \right\urcorner)$$

Pregunta 1: ¿Puede hacerlo el ZFC? Es decir, ¿existe un wff $T(x)$ en el lenguaje de ZFC tal que para la interpretación teórica de conjuntos de cualquier $L_a$ -sentencia $\phi$ :

$$ ZFC \vdash \phi \equiv T(\left\ulcorner \phi \right\urcorner)$$

Pregunta 2 ¿Puede ZFC expresar la verdad aritmética? Es decir, ¿existe una wff $T(x)$ en el lenguaje de ZFC tal que para la interpretación teórica de conjuntos de cualquier $L_a$ -sentencia $\phi$ , $\phi$ es verdadera en el modelo estándar si $ZFC \vdash T(\left\ulcorner \phi \right\urcorner)$ .

Y, finalmente ¿Existe alguna relación entre estas dos preguntas?

Answer 1

Una respuesta rápida a la pregunta 2 es NO. En $ZFC$ es axiomatizable recursivamente, si $T$ había alguna fórmula así entonces $\{\varphi: ZFC \vdash T(\ulcorner \varphi \urcorner)\}$ sería recursivamente enumerable (es decir, $\Sigma^0_1$ ). Sin embargo, la teoría de primer orden del modelo estándar ni siquiera es aritmética.

Para la Pregunta 1, relajando la demostrabilidad la respuesta es SÍ. Obsérvese que un $L_a$ -se interpreta en ZFC como una fórmula con sólo cuantificadores acotados: cada $\forall x$ en un $L_a$ -puede sustituirse por $\forall x \in \omega$ en ZFC. Así que en cualquier $M \models ZFC$ la definición inductiva de la relación de satisfacción $\mathbb{N}^M \models \varphi$ puede hacerse mediante una inducción sobre la longitud de $\varphi$ (la referencia estándar para este proceso es la obra de Azriel Lévy Jerarquía de fórmulas en la teoría de conjuntos , 1964), y nos da así un conjunto $s \in M$ de la teoría de primer orden de $\mathbb{N}^M$ . La definición de $s$ es uniforme (es decir, independiente de $M$ ), por lo que puede expresarse mediante $T(\ulcorner \cdot \urcorner)$ .