$\epsilon$ definición de punto límite

Question

En la definición de un punto límite $x$ de un conjunto de $A$ ($x$ no no necesariamente en $A$), se requiere que cada $\varepsilon>0$, existe $y\in A$ tal que % $ $$0

¿Es esto una definición estándar? ¿Las desigualdades tienen que ser estrictos? ¿Por qué es el cero necesario sobre la desigualdad del lado izquierdo?

Answer 1

Esta es la definición estándar, y una de las desigualdades tiene que ser estricta, como voy a mostrar: La intuición va de la siguiente manera: Decir que un punto de $x$ es un punto límite de un conjunto $A$ es lo mismo que decir que "sin embargo cierre llego a $x$, siempre hay un punto de $A$ cercanos". Así que, básicamente, para cada pequeño intervalo de alrededor de $x$, quiero que haya un punto de $A$. El uso de $\epsilon$ notación, por cada pequeña positivo $\epsilon$, quiero que haya un punto de $A$ en el intervalo de $(x-\epsilon,x+\epsilon)$. Pero esto es lo mismo que decir que para cada $\epsilon>0$, $y\in A$ que está más cerca de a $x$ $x-\epsilon$ o $x+\epsilon$; es decir, $$x-\epsilon<y<x+\epsilon.$$ Restando $x$, obtenemos que $-\epsilon<y-x<\epsilon$, y esta es la definición de $|y-x|<\epsilon$.

Es fácil ver que usted puede ajustar esta un poco y decir que queremos un punto de $A$ $[x-\epsilon,x+\epsilon]$ todos los $\epsilon$, y así queremos que todos los $y\in A$ tal que $0<|y-x|\leq \epsilon$.

No podemos tener a $|y-x|=0$, sin embargo, debido a que apenas dice que $x=y$, y queremos que los puntos de $A$ que están cerca de la $x$ pero no es igual a $x$.