$ \int_ { \theta }^{ \theta + \pi }r(u) \cos u\, du=- \lambda\sin\theta $ y $ \int_\theta ^{ \theta + \pi }r(u) \sin u\;du= \lambda\cos\theta $ con seguridad $r(u)$

Question

Se nos dan algunas definiciones sobre una función $r(u)$ :

1) $r(u)>0$

2) $r(u)= r(u+2 \pi )$

3) $r(u)+r(u+ \pi )= \lambda $

4) $r(u)$ es continuo

5) $ \int_0 ^{ \pi }r(u) \cos\theta =0$ y $ \int_0 ^{ \pi }r(u) \sin\theta = \lambda $

Las siguientes identidades deben ser probadas:

El primero procede de la siguiente manera:

He intentado una y otra vez probar la segunda identidad, y parece que debería ser fácil. Sin embargo, sigo recibiendo $ \lambda + \lambda\cos\theta $ en lugar de $ \lambda\cos\theta $ ...¿qué me estoy perdiendo aquí? Y perdón por el horrible formato, como puedes ver soy bastante nuevo en MSE.

Answer 1

Dejemos que $$F(\theta)=\int_{\theta}^{\theta+\pi}r(u)\sin(u)du.$$

La derivada es

$$F'(\theta)=$$

$$r(\theta+\pi)\sin(\theta+\pi)-r(\theta)\sin(\theta)=$$

$$-\sin(\theta)\Bigl(r(\theta+\pi)+r(\theta)\Bigr)=$$

$$-\lambda \sin(\theta)$$

y después de la integración,

$$F(\theta)=\lambda \cos(\theta)+C$$

con $\theta=0$ se convierte en $$\int_0^\pi r(u)\sin(u)du=\lambda=\lambda+C$$ así $$C=0$$ Hecho.