Singularidad de productos categóricos

Question

Actualmente, estoy estudiando la categoría de la teoría de Awodey excelente libro en línea, pero estoy teniendo problemas para ver que la asignación entre dos objetos es necesariamente una iso.

Si $P,p_0:P\rightarrow A,p_1:P\rightarrow B$ $X,x_0:X\rightarrow A,x_1:X\rightarrow B$ son producto de diagramas para $A$ $B$ en categoría $\mathcal{C}$, entonces obtendremos único flechas $u_0:X\rightarrow P$ $u_1:P\rightarrow X$ que el rendimiento de las identidades $$x_0=p_0\circ u_0,$$ $$p_0=x_0\circ u_1,$$ which we can then substitute into each other to obtain $$x_0=x_0\circ u_1\circ u_0,$$ $$p_0=p_0\circ u_0\circ u_1.$$ At this stage the author asserts that these identities, together with the identities $$x_0=x_0\circ1_X,$$ $$p_0=p_0\circ1_P$$ and the uniqueness condition on $u_0$ and $u_1$ yield the desired equalities $u_0\circ u_1=1_P$ and $u_1\circ u_0=1_X$, pero no acabo de verlo.

Si hay alguna otra flecha $u_2:P\rightarrow X$ tal que $u_0\circ u_2=1_P$, entonces estoy de acuerdo en que tendríamos una contradicción, ya que tenemos $$p_0=p_0\circ1_P=p_0\circ u_0\circ u_2=x_0\circ u_2$$ and $u_1$ is unique with this property, but is the existence of $u_2$ necessary if $u_0\circ u_1\neq1_P$? Could the identity not hold and there be no such $u_2$?

(Hay, por supuesto, correspondiente identidades para $p_1$$x_1$, pero ellos me llevan a la misma pregunta.)

Answer 1

Esto es una forma de expresar la propiedad de unicidad relacionada con productos.

Si $P$ sirve como producto de $A$ y $B$ con proyecciones $p_0:P\to A$y $p_1:P\to B$ entonces par $(p_0,p_1)$ es un supuesto Monofuente , que significa que en base de la igualdad: $$p_0\circ f=p_0\circ g\text{ and }p_1\circ f=p_1\circ g$$ you are allowed to conclude that: $% $ $f=g$

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En tu caso tenemos: $$p_0\circ u_0\circ u_1=p_0\circ\mathsf{id}_P\text{ and }p_1\circ u_0\circ u_1=p_1\circ\mathsf{id}_P$$ so you are allowed to conclude that: $% $ $u_0\circ u_1=\mathsf{id}_P$

De manera similar se puede encontrar que: $$u_1\circ u_0=\mathsf{id}_X$ $ juntos esto demuestra que el $u_0$ $u_1$ son isomorfismos y son inversos entre si.

Answer 2

$P, p_0,p_1$ Es un diagrama del producto, cualquier par de flechas $C\to A, C\to B$ se pasa por un único $C\to P$.

Ahora, esta flecha única es el par $(x_0,x_1)$ $u_0:X\to P$, y el par $(p_0,p_1)$, sin duda es $1_P$. Pero, tomando las composiciones, también $u_0\circ u_1:P\to P$ $(p_0,p_1)$ a través de sí mismo.
Esto significa, por exclusividad, $u_0\circ u_1=1_P$.