$f$ continuo en$[a,b]$,$f\geq 0$,$\int_{a}^{b}f=0$ luego$f=0$

Question

Soy curioso en cuanto a si alguien puede dar alguna información sobre esta prueba.

Si $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ continua, $f\geq 0$, $\int_{a}^{b}f=0$ a continuación,$f=0$.

Mi prueba: supongamos que existe una $c\in [a,b]$ tal que $f(c)>0$. A continuación, $f>0$ sobre un conjunto abierto $c\in I\subset [a,b]$, esto debe ser verdad, porque de lo contrario tendríamos un no-continua a trozos función, $f(x)=0$ todos los $x\in [a,b]-\{c\}$$f(c)=0$. Ahora vamos a construir una inferior de Darboux suma mayor de $0$.

$L(f,\sigma)=\sum_{i=0}^{n-1} m_i(f)\,\Delta x_i=m_k(f)\,\Delta x_i>0,$ donde mi partición es $\sigma=\{ a=x_0<x_1<\dots<x_n=b \}$ recogido en una forma tal que $[x_k,x_{k+1}]\subset I$. También se $m_k(f)=\inf\{f(x):x\in [x_k,x_{k+1}]\}$. Ahora podemos concluir que $\underline{\int_a^b}f=\sup \{\text{L}(f,\sigma):\sigma \in \ \text{the set of all partitions of} \ [a,b] \}>0$ pero esto contradice el hecho de que $\underline{\int_a^b} f=\int_a^b f=0$. Por lo tanto,$f=0$.

¿Qué te parece? El libro "Un Primer Curso de Análisis Real por Sterling Berberian" da una pista para ayudar a los estudiantes con la prueba y dice: Suponga $f(c)>0$ en algún punto c, sostienen que el $f(x)\geq \frac{1}{2}f(c)$ en un subinterval de $[a,b]$ y la construcción de una menor suma de$f$$>0$.

Como puedes ver he basado la mayor parte de mi prueba en la que ayuda, pero no del todo. Si usted tiene alguna idea de cómo usar correctamente la ayuda por favor, ¡compártelo!.

Answer 1

Idea simple

Si$f(c)>0$ y$f$ son continuos, entonces$f(x)\ge\epsilon>0$ en un barrio$[u,v]$% de$c$. Entonces:

ps

En su prueba usando sumas de Darboux, aún necesita probar$$\int_a^b f\ge\int_u^v f\ge\epsilon(v-u)>0$ en un vecindario de$f(x)\ge\epsilon>0$ para mostrar que la suma de Darboux inferior es positiva (es decir,$c$). De lo contrario, incluso si$m_k(f)>0$ en$f(x)>0$, aún puede tener$[x_k,x_{k+1}]$. Como en$m_k(f)=0$, aunque cada elemento del conjunto sea positivo.

Answer 2

Señala que $f$ debe ser positivo en algunos abiertos barrio de $c.$ puede utilizar la partición de $a<x_1<x_2<b$ donde $x_1,x_2$ se en que barrio abierto. Para que la partición, la menor suma es positiva. Si hay una partición para la que la menor suma es positiva, entonces el supremum de todos los niveles inferiores de sumas es positivo, por lo tanto la integral es positivo.

Yo no diría "esto debe ser verdad, porque de lo contrario tendríamos un no-continua a trozos función" para un par de razones. Una de ellas es que "a trozos" no es una propiedad de las funciones, sino una propiedad de una particular forma de definir una función. La otra es que hay una manera simple de decir es que la conecta con la definición de "continuo". Elija $\varepsilon = f(c)/2.$ existe $\delta>0$ lo suficientemente pequeño como para que de $c-\delta<x<c+\delta$ ha $f(x)> f(c)-\varepsilon > 0.$