Intuición geométrica o matriz en $A(A + B)^{-1}B = B (A + B)^{-1} A$

Question

Tengo curiosidad acerca de un aparentemente simple identidad en el álgebra matricial. A pesar de la multiplicación de matrices no es conmutativa (el ejemplo clásico de noncommutativity, deja una conmutatividad de la clase en torno a un muy específicos de la tercera matriz:

$$ \color{blue}{A (a + B)^{-1} B} = \color{blue}{B (a + B)^{-1}} $$

Hay una muy simple prueba algebraica:

$$ \begin{eqnarray} \color{blue}{A (A + B)^{-1} B} + \color{red}{B (A + B)^{-1} B} &=& (A + B)(A + B)^{-1} B\\ &=& B\\ &=& B (A + B)^{-1} (A + B) \\ &=& \color{blue}{B (A + B)^{-1} A} + \color{red}{B (A + B)^{-1} B}\\ \end{eqnarray} $$

porque la suma de la matriz es conmutativa. La identidad de la siguiente manera por la cancelación de $B (A + B)^{-1} B$. (Si hay una manera más simple lineal de la prueba, dicen, sin necesidad de cancelación, por favor decirlo. Que extra extraño de la matriz, mientras que, obviamente, mirando a la derecha y, obviamente, hacer el trabajo, sólo se sale de la nada. O no?)

El álgebra es ciego manipulación de símbolos. La identidad tiene en cualquier abstracto anillo con los inversos multiplicativos. Pero para un modelo determinado, la identidad, dice algo acerca de ese modelo. Sólo he visto la identidad en el contexto de las matrices, pero no veo qué tiene de especial allí.

Lo que hace esta identidad para hacer matrices?

Hay algo, en la teoría de la matriz, por lo que este tiene de especial? ¿Alguna vez realmente llegar en las pruebas? $(A+B)^{-1}$ no puede ser la única matrices que permiten que esa cuasi-conmutatividad, ¿no? Hay una visualización o interpretación geométrica o un significativo nada la interpretación?

Answer 1

En los casos en que $A,B$ $A+B$ son todos invertible, la inversa de la igualdad es:

$$B^{-1}(A+B)A^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}$$

Pero el simple cálculo muestra el lado izquierdo es $B^{-1}+A^{-1},$ y el lado derecho es $A^{-1}+B^{-1}.$

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El caso general puede ser demostrado por darse cuenta de que el conjunto de pares $(A,B)$ tal que $A,B,A+B$ son invertible es denso en el conjunto de pares $A,B$ tal que $A+B$ es invertible. Ya que la función es continua, que iba a terminar con ella.

Podemos hacer esto mediante la adopción de un arbitrario $A,B$ y, a continuación, reemplazándolo con $A+\lambda I, B-\lambda I,$ donde $\lambda$ es un valor positivo con menor magnitud que el de los no-cero autovalores de a $A,B.$

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Que la continuidad del argumento, por supuesto, no se puede aplicar a matrices más discretos campos, y esta igualdad es verdadera en cualquier anillo. Si $R$ es un anillo con identidad $I$) y $a,c,d\in R$, de modo que $dc=cd=I,(*)$, entonces:

$$ad(c-a)=(c-a)da,\tag{1}$$

debido a que el lado izquierdo es $adc-ada=a-ada$ y el lado derecho es $cda-ada=a-ada,$, por lo que son iguales.

Ahora, dada $a,b\in R$, de modo que $a+b$ es invertible en a $R,$ deje $c=a+b,d=(a+b)^{-1}$. A continuación, $b=c-a$ (1), en $$a(a+b)^{-1}b=b(a+b)^{-1}a$$

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(*) Hay anillos donde $cd=I$ no implica $dc=I,$, pero en las matrices cuadradas, $DC=I $$CD=I.$, de Modo general para el anillo, tenemos la condición de $cd=I$ $dc=I.$

Answer 2

Lo único que me recuerda de inmediato es$$\frac{ab}{a+b} = \left(\frac{a+b}{ab}\right)^{-1} = \left(\frac 1 a + \frac 1 b\right)^{-1}$ $

Que es "suma armónica". Relacionado con la media armónica para los escalares$a,b$.

En otras palabras, los medios armónicos están bien definidos sin respetar el orden de las matrices (?)

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Si tres términos$$\left(\frac 1 {a} + \frac 1 {b} + \frac 1 {c}\right)^{-1} = \left(\frac {bc+ac+ab} {abc}\right)^{-1} = \frac {abc}{bc+ac+ab} = \frac {a(bc)}{bc+a(c+b)}$ $

Me pregunto si se puede probar algo para$$A(BC+A(B+C))^{-1}(BC)=(BC)(BC+A(B+C))^{-1}(A)$ $

Answer 3

Acabo de poner $$ A = \left( {A + B} \right) - B $$ para obtener $$ \eqalign{ & \left( {\left( {A + B} \right) - B} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} B = B\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} \a la izquierda( {\left( {A + B} \right) - B} \right) \cr & \quad \Downarrow \cr & B - B\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} B = B - B\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} B \cr} $$

Tal vez una mejor visión sobre lo que está pasando puede ser obtenida por poner $$ \left\{ \matriz{ A = {1 \over 2}\left( {A + B} \right) - {1 \over 2}\left( {B} \right) \hfill \cr B = {1 \over 2}\left( {A + B} \right) + {1 \over 2}\left( {B} \right) \hfill \cr} \right. $$ que luego da $$ \eqalign{ & {1 \over 4}\left( {\left( {A + B} \right) - \left( {B} \right)} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} \a la izquierda( {\left( {A + B} \right) + \left( {B} \right)} \right) = \cr Y = {1 \over 4}\left( {\left( {A + B} \right) + \left( {B} \right)} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} \a la izquierda( {\left( {A + B} \right) - \left( {B} \right)} \right) = \cr & \quad \Downarrow \cr & \left( {I - \left( {B} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} } \right)\left( {\left( {A + B} \right) + \left( {B} \right)} \right) = \cr & = \left( {I + \left( {B} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} } \right)\left( {\left( {A + B} \right) - \left( {B} \right)} \right) \cr & \quad \Downarrow \cr & \left( {A + B} \right) - \left( {B} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} \a la izquierda( {B} \right) = \cr & = \left( {A + B} \right) - \left( {B} \right)\left( {A + B} \right)^{\, - \,1} \a la izquierda( {B} \right) \cr} $$