Cómo probar que el sistema de
$$
a^2+b^2=2x^2+1, \\
c^2+d^2=2y^2+1, \\
a\cdot c-b \cdot d=1
$$
no tiene soluciones naturales?
Se puede demostrar que el sistema igual a la ecuación
$$(2х^2+1)(2у^2+1)=4z^2+1$$
En una dirección
a partir de Fibonacci de identidad
$$(2x^2+1)(2у^2+1)=(а^2+b^2)(c^2+d^2)=(аd+bc)^2+(аc-bd)^2=(аd+bc)^2+1$$
y el uso de Pitágoras cuádruple $$(1; 2z; х^2-у^2; 1+х^2+у^2)$$
$$1+(2z)^2+(x^2-у^2)^2=(1+х^2+у^2)^2$$
$$1=m^2+n^2-p^2-q^2; 1+x^2+у^2=m^2+n^2+p^2+q^2$$
$$х^2-у^2$$ equal $$2(mq+np)$$ or $$2(nq-mp)$$
Vamos
$$х^2-у^2=2(mq+np)$$
Tenemos
$$2х^2+1=(m+q)^2+(n+p)^2; 2у^2+1=(m-q)^2+(n-p)^2$$
y
$$2х^2+1=а^2+b^2; 2у^2+1=c^2+d^2$$. Además de
$$1=m^2+n^2-p^2-q^2=(m-q)(m+q)-(p-n)(p+n)=аc-bd$$
y tenemos sistema de nuevo.
Para la ecuación de $$(2х^2+1)(2у^2+1)=z^2+1$$
He intentado volver a escribir
$$4x^2y^2+2x^2+2y^2=z^2$$
Deje $$z = 2xy+k$$
$$4z^2=4x^2y^2+4xyk+k^2 $$
$$4x^2y^2+2x^2+2y^2 = 4x^2y^2+4xyk+k^2$$
$$2x^2+2y^2 =4xyk+k^2$$
Podemos suponer $$k=2m$$
$$2x^2+2y^2 =8xym+4m^2$$
$$x^2+y^2= 4xym +2m^2$$
$$x^2+y^2-4xym =2m^2$$
$$(x-2my)^2+y^2-4m^2y^2 =2m^2$$
$$(x-2my)^2-y^2(4m^2-1) =2m^2$$
Y han tratado de técnicas estándar como el teorema de Legendre,pero no ayuda. .
He visto este problema en uno social de matemáticas de la comunidad en el sitio ruso como facebook.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ataulfo
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Comentario.-es evidente que las variables $a, b$ tienen distinta paridad; que $a$ ser incluso y $b$ impares.
Es sabido que la solución general de la ecuación de $$x^2+y^2+z^2=w^2$$ is given by the identity $$(2XZ)^2+(2YZ)^2+(Z^2-X^2-Y^2)^2=(X^2+Y^2+Z^2)^2$$ It follows because of the first equation is equivalent to $% $ $a^2+b^2+x^4=(x^2+1)^2$tenemos $$\begin{cases}a=2XZ\b=Z^2-X^2-Y^2\x^2=2YZ\x^2+1=X^2+Y^2+Z^2\end{cases}$ $ $X,Y,Z$ un razonamiento Similar $ con la segunda ecuación relacionan a lo tres parámetros $$(Y-Z)^2+X^2=1$.
No tengo tiempo para intentar llegar al final de la prueba en el caso de esta observación es útil. ¿Puede hacerlo?
