¿Por qué la 2-norma es mejor que la 1-norma?

Question

¿Por qué utilizamos la norma 2 en todo el lugar en lugar de la norma 1 aunque ambos son equivalentes y la norma 1 es más eficientemente computable? Actualmente estoy implementando un algoritmo que normaliza un vector en cada paso (usando 2-norma). Entonces, ¿podría usar la norma 1 en su lugar? Más detalles: iteración de potencia para el cálculo del autovalor dominante de una matriz:

 x:=random vector of length numrows(A) x=x/||x|| 
while l changes (e.g. abs(l-l_last)<tolerance)
    x=Av
    l=||x||
    x=x/||x||
 

Answer 1

En su caso, la actual norma del vector no importa ya que sólo le preocupa el autovalor dominante. La única razón para normalizar durante la iteración es mantener las cifras de crecimiento de manera exponencial. Escalar del vector sin embargo, se quiere evitar el desbordamiento numérico.

Un concepto clave acerca de autovectores y autovalores es que el conjunto de vectores correspondientes a un autovalor forman un subespacio lineal. Esto es una consecuencia de la multiplicación por una matriz de ser lineal en el mapa. En particular, cualquier escalar múltiples de un autovector es también un vector propio para el mismo autovalor.

El artículo de la Wikipedia método de la Potencia menciona el uso del cociente de Rayleigh para calcular una aproximación a la autovalor dominante. Real vectores y matrices está dado por el valor $\, (v\cdot Av)/(v \cdot v). \,$ Probablemente hay buenas razones para el uso de esta fórmula. Por supuesto, si $\,v\,$ está normalizado, de modo que $\, v \cdot v = 1, \,$, entonces usted puede simplificar la que a $\, v\cdot Av. \,$

Answer 2

Me dicen que de estos se parece más a una pelota, y yo voy a decir que es el mejor de la norma:

$$ \ $$

                                                        

Más en serio, los dos-norma está dada por un producto interior, y esto tiene consecuencias de largo alcance: como la ortogonalidad, proyecciones, complementado subespacios, bases ortonormales, etc., etc., etc., las características que podemos ver en espacios de Hilbert.

Answer 3

En el autovalor algoritmos, usted está tratando de generar los autovalores y el ortogonal de vectores propios. El paso a la derecha no es la normalización de la parte. Si usted mira esto.

el siguiente paso no funciona con el $\ell_{1}$ norma. O el verdadero propósito de no. El objetivo aquí era hacer que se normalizan. Si te das cuenta de cómo estos algoritmos funcionan si los autovalores están más cerca entre sí que los hace tomar mucho más tiempo. Así numérico de error va a destruir el algoritmo.