Intersección de segmentos de líneas aleatorias en el plano

Question

Vamos a un punto en el plano de ser elegidos al azar a través de $(\sqrt{\frac{t}{1-t}}\cos(2\pi\theta),\sqrt{\frac{t}{1-t}}\sin(2\pi\theta))$ donde $t$ $\theta$ son uniformemente elegido al azar en $[0,1]$ (equivalentemente, elegir un punto uniformemente al azar sobre la superficie de la esfera y, a continuación, proyecto stereographically). Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que al azar dos segmentos de línea (determinado por sus extremos) se cruzan?

Este es un repost de un subproblem en un post anterior que nunca respondió. La simulación de Monte Carlo sugiere que la respuesta es, precisamente,$1/5$, pero yo no lo fructífero de ideas de izquierda, ¿cómo demostrarlo.

Answer 1

Esto no es una solución terminada, sólo un conjunto de ideas, pero con un poco de suerte va a llegar allí.

1. Interruptor de coordenadas Cartesianas. Expresan las intersecciones no será fácil. Para lograr esto, se necesita una función de densidad de probabilidad $p(x,y)$. Debe ser proporcional a la relación de la esfera de área de superficie por plano de la superficie después de la proyección estereográfica, para infinitesimalmente pequeñas áreas. Sólo debe depender de la (al cuadrado) radio de $x^2+y^2$. Y, por supuesto, se debe resumir para uno, como en el $$\iint_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1$$ Unless I made a mistake, the probability density function you want should be $$p(x,y)=\frac1{\pi\left(x^2+y^2+1\right)^2}$$ This is based not on your formula for $t$ pero en mi consideraciones para la proyección estereográfica de la unidad de la esfera en el plano ecuatorial. Por favor comprueba esto.

2. Con una probabilidad de $1$ tres puntos al azar no se encuentran en una recta. En el caso de que usted puede expresar el cuarto punto, como una combinación lineal de estas, es decir,$$P_4=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\lambda_3P_3\qquad\text{with }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$$ Then segment $( P_1,P_2)$ will intersect segment $(P_3,P_4)$ iff $\lambda_1>0,\lambda_2>0,\lambda_3<0$.

3. Combinar estos. Tres puntos al azar en el plano, en el cuarto azar, sino que la satisfacción de estas restricciones. \begin{align*} f_1&=\iint_{-\infty}^{+\infty}f_2\,p(x_1,y_1)\,\mathrm dx_1\,\mathrm dy_1 \\ f_2&=\iint_{-\infty}^{+\infty}f_3\,p(x_2,y_2)\,\mathrm dx_2\,\mathrm dy_2 \\ f_3&=\iint_{-\infty}^{+\infty}f_4\,p(x_3,y_3)\,\mathrm dx_3\,\mathrm dy_3 \\ f_4&=\int_0^1\int_{1-\lambda_1}^{+\infty} q(x_4,y_4)\,\mathrm d\lambda_2\,\mathrm d\lambda_1 +\int_1^{+\infty}\int_0^{+\infty} q(x_4,y_4)\,\mathrm d\lambda_2\,\mathrm d\lambda_1 \\ x_4 &= \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+(1-\lambda_1-\lambda_2)x_3 \\ y_4 &= \lambda_1y_1+\lambda_2y_2+(1-\lambda_1-\lambda_2)y_3 \end{align*}

4. La formulación anterior es, utilizando una función de densidad de probabilidad $q$ en el último paso, debido a la diferente configuración de parámetros. Usted tendrá que expresar $q$ en términos de $p$, el uso regular de las reglas para la integración por sustitución. Esencialmente $\mathrm dx\,\mathrm dy$ describe un área rectangular en el plano. El área correspondiente a $\mathrm d\lambda_1\,\mathrm d\lambda_2$ proyectos sobre el plano, como una forma de paralelogramo de área que se puede calcular como el valor absoluto de un determinante $$q(x,y)=\left\lvert\det\begin{pmatrix}x_1-x_3&x_2-x_3\\y_1-y_3&y_2-y_3\end{pmatrix}\right\rvert\,p(x,y)$$ por supuesto, Usted puede mover determinante en frente de la integral.

5. Ahora sólo queda esperar que alguna combinación de energía del cerebro y sistema de álgebra computacional puede calcular estas integrales sin acumular demasiada complejidad.

Por ahora me dí una oportunidad, y los resultados son bastante desalentadores. Parece que los términos será bastante complicado en el interior de la integral, y el Sabio me pide complicado para el caso de las distinciones. Así que ya no soy optimista de que esto va a ser un enfoque adecuado sin ningún tipo de conocimientos fundamentales en el cálculo de las integrales.