¿Cuánto pueden estar de acuerdo dos polinomios?

Question

Deje $f(x,y)$ ser un polinomio en $\mathbf R[x, y]$ tal que $f(x, x^3) = 0$ todos los $1< x< 2$.

Pregunta. Entonces, ¿es necesario que $f(x, x^3) = 0$ todos los $x$?

(Como se ha señalado por @dvix en los comentarios, esta pregunta tiene respuesta en SÍ. La razón es que el $f(x, x^3)$ es una sola variabel polinomio de fuga en una infinidad de puntos, y por lo tanto debe ser idéntica a cero).

Más en general lo que quiero saber es lo siguiente:

Pregunta. Supongamos $X\subseteq \mathbf R^n$ es una irreductible afín variedad y $f\in \mathbf R[x_1, \ldots, x_n]$ ser un polinomio que se desvanece en un abrir subconjunto de $X$. Entonces es forzoso que $f$ se desvanece en todos los de $X$. O, al menos, en todos los puntos de curva de $X$?

Aquí "abrir" con respecto a la topología Euclidiana.

Answer 1

En la siguiente, cuando escribimos $\dim$, nos referimos a la dimensión de un espacio topológico, y cuando escribimos variedades, nos referimos a los esquemas de finito tipo de más de un campo, y cuando escribimos $\dim$, de un esquema, nos referimos a la dimensión de los asociados espacio topológico.

Deje $U\subset X(\Bbb R)$ ser el conjunto abierto en el que $f$ se desvanece. $f=0$ es un conjunto cerrado en $X$, por lo que si $X$ es reducido y $U$ es de dimensión$\dim X$, $f$ debe ser idénticamente cero ($\{f=0\}$ es un conjunto cerrado que contiene a $U$, lo $\dim \{f=0\} \geq \dim U=\dim X$, y el único subconjunto cerrado de un irreductible, reducción de la variedad de dimensión$\dim X$$X$).

Es importante que $\dim U = \dim X$: puede suceder que $\dim U < \dim X$, como en el caso del al$X = V(x^2-y^2z)$, $X$ es de dos dimensiones, irreductible, y reducido, pero es posible elegir un $U\subset X(\Bbb R)$ que es abierto, pero tiene dimensión 1: considere el $X(\Bbb R)\cap ((-1,1)\times(-1,1)\times(-2,-1)).$ Si $U$ consiste completamente liso de puntos, se aseguró de que $\dim U=\dim X$, por el teorema de la función implícita.

Answer 2

Esto puede ser demostrado mediante básicos de álgebra lineal de los conceptos.

Considere la posibilidad de un polinomio genérico $p(x)$ grado $n$:

$$p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i.$$

Supongamos que usted no sabe que el coeficiente de $a_i$ (se $n+1$), pero usted sabe el valor del polinomio para $n+1$ diferentes valores de $x$, vamos a decir $$p(x_j) = y_j.$$

para $j=1, \ldots, n+1.$ Bajo este supuesto, puede intentar encontrar los coeficientes $a_i$ al resolver el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} a_0x_1^0 + a_1x_1^1 + \ldots + a_nx_1^n & = & y_1\\ a_0x_2^0 + a_1x_2^1 + \ldots + a_nx_2^n & = & y_2\\ \ldots \\ a_0x_{n+1}^0 + a_1x_{n+1}^1 + \ldots + a_nx_{n+1}^n & = & y_{n+1}\\ \end{casos}.$$

Puede ser fácilmente demostrado que el cuadrado de la matriz de este sistema lineal

$$\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_{1}^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \ldots & x_{2}^n \\ \ldots\\ 1 & x_{n+1} & x_{n+1}^2 & \ldots & x_{n+1}^n \end{bmatrix}$$

es una matriz de Vandermonde, que es invertible si y sólo si todos los $x_j$s son diferentes.

Supongamos ahora que para todos los (las) $x_j$s, el valor del polinomio es $y_j = 0$. Entonces, la única solución del sistema lineal (que ahora es homogéneo), está dada por:

$$a_0 = a_1 = \ldots = a_n = 0.$$

Ahora, si $p(x) = 0$ $x \in I$ donde $I$ es una multitud innumerable, entonces siempre se puede encontrar $n+1$ $x_j$ dentro $I$ tal que $p(x_j) = 0 (=y_j)$, lo que implica que $a_0 = a_1 = \ldots = a_n = 0.$ Por lo tanto, $p(x) = 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$.