Intuición detrás de la medida de irracionalidad

Question

El medida de irracionalidad $\mu(x)$ de un número real $x$ se define como el sumo del conjunto de números reales $\mu$ tal que las desigualdades $$0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} \qquad (1)$$ se mantienen para un número infinito de pares de enteros $(p, q)$ con $q > 0$ . Wikipedia dice que $\mu(x)$ mide "cómo de "cerca $x$ puede ser aproximado por los racionales", pero no tengo muy claro cómo lo hace exactamente, porque la "aproximabilidad" de un número real parece depender no monotónicamente de $\mu$ con números reales con valores bajos y altos de $\mu(x)$ fácilmente aproximables por los racionales, y los números reales con valores intermedios de $\mu(x)$ difícil de aproximar por los racionales.

En concreto, tenemos $\mu(x) \geq 1$ con

• la preimagen de $\mu(x) = 1$ es exactamente los racionales $\mathbb{Q}$ .

• la preimagen de $\mu(x) = 2$ contiene todos los números algebraicos irracionales $\bar{Q} \setminus Q$ (por el teorema de Roth), así como casi todos los números trascendentales (en el sentido de la medida de Lebesgue), incluyendo $e$ y $\varphi$ .

• la preimagen de $\mu(x) \in (2, \infty)$ es un subconjunto de medida cero de los números trascendentales

• la preimagen de $\mu(x) = \infty$ es el conjunto de números de Liouville (este conjunto es "grande" en el sentido de tener la cardinalidad del continuo y ser denso en los reales, pero "pequeño" en el sentido de tener medida de Lebesgue cero).

El nombre "medida de irracionalidad" parece implicar que si $\mu(x) > \mu(y)$ entonces $x$ es "más irracional" que $y$ es decir, es más difícil de aproximar por una secuencia de números racionales. Pero en realidad es lo contrario; los números de Louiville, que tienen $\mu(x) = \infty$ son inusualmente fácil aproximar por una secuencia de racionales, aunque por supuesto no es tan fácil como los propios racionales, que tienen $\mu(x) = 1$ . ¿Cómo puedo entender esta extraña no monotonicidad?

Tal y como yo lo entiendo, el problema proviene enteramente de la primera desigualdad de (1), que parece extremadamente arbitraria y conceptualmente antinatural. Si eliminamos esa desigualdad, la segunda tiene una interpretación muy agradable: el error en la secuencia de aproximación diofantina disminuye con $q$ como una ley de potencia con exponente $\mu$ y superior $\mu$ significa que el error decae más rápidamente. Así que bajo esta propuesta de modificación, $\mu$ se interpretaría como un racionalidad medida: casi todos los números irracionales tendrían el valor mínimo $\mu(x) = 2$ pero algunos números serían inusualmente fáciles de aproximar y tendrían $\mu(x) > 2$ . Para un número racional tendríamos trivialmente $\mu = \infty$ (bajo esta definición modificada), porque los errores se desvanecerían idénticamente después de un tiempo finito $q$ . Los números de Liouville serían inusuales en el sentido de que sus aproximaciones diofánticas desaparecerían con $q$ más rápido que cualquier ley de potencia, aunque nunca llegue a cero, por lo que también tendrían $\mu(x) = \infty$ al igual que los racionales.

¿Hay alguna motivación para la primera desigualdad que me esté perdiendo? Parece que disminuye enormemente la claridad conceptual de $\mu$ convirtiéndola en una medida no monótona de aproximabilidad diofántica.

Answer 1

Intentaré registrar/interpretar los comentarios como una respuesta para la permanencia.

Parece que la cuestión es que la motivación para excluir el caso de error cero proviene de tomar una definición estricta de la palabra "aproximación" que excluye la igualdad exacta, es decir $x = y \implies x \not\approx y$ . En este sentido estricto, los racionales son inusualmente difícil para aproximarse por otros racionales, como decían los comentaristas. Así que la "medida de irracionalidad" mide realmente la "aproximación estricta por parte de los racionales". Todavía no tengo claro ni (a) por qué esta noción de "aproximación estricta" es conceptualmente más útil que la noción ordinaria de "aproximación", ni (b) por qué esta medida se llama "medida de irracionalidad" cuando me parece que en casi todos los casos (es decir, para los irracionales), una "medida de irracionalidad" más alta parece indicar que un número es más cerca a ser racional. Pero mi pregunta original ha sido respondida.