La ley de De Morgan sobre las uniones e intersecciones infinitas

Question

Al pasar por Probabilidad: Teoría y ejemplos de Rick Durrett (4ª edición, p.9), me encontré con la conocida definición de $\sigma$ -donde, si $A_i \in \mathcal{F}$ es una secuencia contable de conjuntos para algún $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}$ y $\cup_i A_i \in \mathcal{F}$ por definición, entonces se deduce que $\cap_i A_i^C \in \mathcal{F}$ por la ley de Morgan.

Fue entonces cuando se me ocurrió que nunca había visto una prueba de que la ley de Morgan es válida para un número contablemente infinito de conjuntos. No tengo mis libros de teoría de la medida/teoría de la probabilidad conmigo en este momento, pero estoy bastante seguro de que nunca he visto a ninguno de ellos demostrar esto antes extendiendo $\sigma$ -a la unión o intersección contable, dependiendo de la definición con la que se haya empezado.

Por un lado, parece obvio que se mantenga. Por otro lado, parecer obvio no es una prueba, especialmente cuando se trata de algo que implica el infinito.

Puedo imaginar una prueba inductiva en la que

1. Supongamos que la ley de Morgan se cumple para un conjunto de índices de tamaño $n$
2. Entonces demuestre que se cumple para un conjunto de índices de tamaño $n+1$

y envolverlo con $n \rightarrow \infty$ pero no estoy convencido de que eso sea correcto. Por ejemplo, un argumento como ese no funciona para que la intersección contable sea cerrada en una colección de conjuntos abiertos.

Entonces, ¿cuál es una buena prueba que pueda extender la ley de Morgan a una colección infinita de conjuntos?

Answer 1

El resultado es válido para toda familia, contable o no, de conjuntos A(i) y es una simple cuestión de lógica: la afirmación "x pertenece a la unión" significa "existe i tal que x pertenece a A(i)" por lo que su negación "x pertenece al complemento de la unión" es también "para todo i, x no pertenece a A(i)", es decir, "para todo i, x pertenece al complemento de A(i)". Ya ha terminado.

Answer 2

En primer lugar, debemos recordar lo que $\cup_{k=1}^\infty A_k$ es. Decimos que $a\in \cup_{k=1}^\infty A_k$ si y sólo si existe $A_k$ para que $a\in A_k$ .

Ahora bien, si $a \in \cup_{k=1}^\infty A_k^c$ entonces $a\in A_k^c$ para algunos $k$ . En particular, $a\not \in \cap_{k=1}^\infty A_k$ , por lo que debemos tener $a\in (\cap_{k=1}^\infty A_k )^c$ . Esto demuestra que $\cup_{k=1}^\infty A_k^c\subset (\cap_{k=1}^\infty A_k )^c$ . Esperemos que usted mismo pueda mostrar el otro camino, :).

Y, por supuesto, como ha señalado @Did, esto no depende en absoluto de que haya un número contable de conjuntos.

Answer 3

Supongo que estás buscando un argumento matemático informal, no una prueba formal en (digamos) ZFC.

¿Cuándo es $x$ no en $\cup_i A_i$ ? Precisamente cuando $x$ está fuera todo el $A_i$ Así que precisamente cuando $x\in A_i^C$ para todos $i$ Así que precisamente cuando $x \in \cap_i A_i^C$

Answer 4

Sólo hay que pegar el sensor boca abajo a algo plano y soldar cables finos a las almohadillas. Lo he hecho incluso para piezas más complejas como este pequeño módulo bluetooth (un PAN1326 con almohadillas de 0,6 mm):

Lamentablemente no tengo una foto del trabajo de soldadura terminado pero no se vería mucho porque está cubierto de pegamento caliente.